Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ

Задачи 1-50 

задачи 51-100,  задачи  101-150

1. Окружность касается большего катета треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла и имеет центр на гипотенузе. Найдите радиус окружности, если катеты равны 3 и 4 см.  ответ: 15/8
2. На катете BC прямоугольного треугольника АВС как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу в точке D так, что AD : DB = 1 : 3. Длина высоты, опущенной из вершины С прямого угла на гипотенузу, равна 3. Найдите длину катета ВС.  ответ: 6
3. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4. На отрезках гипотенузы, образуемых высотой, построены полуокружности по одну сторону с треугольником. Найдите отрезки катетов, заключенные внутри этих полуокружностей.  ответ: 81/75; 256/100
4. В прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 вписан полукруг с диаметром, лежащим на гипотенузе. Найдите радиус полукруга. ответ: 60/17
5. В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так, что диаметр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрезки 15 см и 20 см. Найдите радиус полуокружности. ответ: 12
6. Дан прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Проведена окружность, касающаяся обоих катетов и имеющая центр на гипотенузе. Найдите отрезки, на которые центр делит гипотенузу. Ответ:  5/3; 10/3
7. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см. Точка касания вписанного в него круга делит гипотенузу в отношении 2 : 3. Найдите радиус вписанного круга. ответ: 2
8. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 10 см и 24 см. Найдите площадь треугольника. ответ: 240
9. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 1 см, а катет - 3 см. Найдите площадь круга, ограниченного описанной около треугольника окружностью.  Ответ: $25\pi/4$
10. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите периметр треугольника. ответ: 30
11. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 30, а радиус вписанной окружности равен 12. Найдите катеты треугольника. ответ: 48; 36
12. Периметр прямоугольного треугольника равен 32, а гипотенуза равна 14. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник. ответ: 4$\pi$
13. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен $r$. Найдите площадь этого треугольника, если длина гипотенузы равна $c$ ответ: $r^2+rc$
14. Найдите площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если проекции катетов на гипотенузу равны 18/5 и 32/5. ответ: $4\pi$
15. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 20, а проекция другого катета на гипотенузу равна 9. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник. ответ:  $25\pi$
16. Катет прямоугольного треугольника равен 6, а гипотенуза равна 10. Найдите расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до центра описанной около него окружности. ответ: $\sqrt{5}$
17. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки 15 и 20. Найдите катеты треугольника. ответ: 21; 28
18. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины С прямого угла проведена высота CD. Точка D находится на расстоянии $a$ и $b$ от катетов АС и ВС соответственно. Найдите длины катетов. ответ: $(a^2+b^2)/a; (a^2+b^2)/b$
19. Найдите радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если даны радиус $R$ описанной около этого треугольника окружности и площадь треугольника $S$. ответ: $\sqrt{R^2+S}-R$
20. В прямоугольный треугольник, длины катетов которого равны 6 и 8, вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что она пересекает катеты, и разделяет треугольник на треугольник и четырехугольник. Найдите периметр образовавшегося треугольника. ответ: 4
21. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, высота, проведенная из вершины прямого угла, равна 3. Найдите отрезки, на которые биссектриса прямого угла делит гипотенузу. ответ: 5/2; 15/2
22. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки 8 и 10. Определите площадь треугольника. ответ: 216
23. Прямоугольный треугольник АВС разделен на две равновеликие части AMN и BCM прямой MN, перпендикулярной к гипотенузе АВ. Найдите площадь круга, описанного около четырехугольника BCMN, если катеты треугольника ABС равны $a$ и $b$. ответ: $\pi(a^2+(b-\sqrt{(a^2+b^2)/2})^2)$
24. Площадь треугольника ABC равна $S_1$, а площадь треугольника AHB, где Н - точка пересечения высот, равна $S_2$. Найдите площадь прямоугольного треугольника ABT, предполагая, что точка Т лежит на прямой СН. ответ: $\sqrt{S_1S_2}$
25. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12. Найдите биссектрисы острых углов треугольника. ответ: $9\sqrt{5}/2; 4\sqrt{10}$
26. Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки 9 и 6, а его периметр равен 45. Найдите стороны треугольника. ответ: 12; 18; 15
27. Около прямоугольного треугольника АВС описана окружность. Расстояния от концов гипотенузы АВ до прямой, касающейся окружности в точке С, соответственно равны $m$ и $n$.  Найдите катеты АС и ВС. ответ: $\sqrt{mn+m^2}; \sqrt{mn+n^2}$
28. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите расстояние от вершины прямого угла до центра вписанной в этот треугольник окружности. ответ: $3\sqrt{2}$
29. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна 4,8, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите гипотенузу. ответ: 10
30. Радиус круга, описанного около прямоугольного треугольника, равен $R$, а один из острых углов равен $\alpha$. Найдите радиус вписанного круга. ответ: $(\sin\alpha+\cos\alpha -1)R$
31. В прямоугольно треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена высота CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники  ACD и BCD, равны соответственно 3 и 4. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС. ответ: 5
32. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной 8, проведена медиана боковой стороны. Найдите основание треугольника, если медиана равна 6. ответ: $2\sqrt{10}$
33. Определите диагонали параллелограмма ABCD, у которого АВ равно 13, AD равно 16, а медианаBE треугольника ABD равна 9. ответ: 11; 27
34. Одна из сторон треугольника равна 16, а медианы, проведенные к двум другим сторонам, равны 11,5 и 14,5. Найдите неизвестные стороны треугольника. ответ: 11; 15
35. Длины сторон треугольника равны 11, 12 и 13. Найдите длину медианы, проведенной к большей стороне. ответ: 19/2
36. Одна из диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD больше другой на 2. Биссектриса угла ABD делит сторону AD на отрезки AE = 6,8 и ED = 10,2. Найдите диагонали параллелограмма. ответ: 21; 23
37. Основание равнобедренного треугольника равно $4\sqrt{2}$, а медиана боковой стороны равна 5. Найдите радиус вписанной окружности. ответ: $8\sqrt{2}/(5+2\sqrt{2})$
38. Основание треугольника равно 10, медианы боковых сторон равны 9 и 12. Найдите третью медиану треугольника. ответ: $5\sqrt{11}$
39. Стороны треугольника равны 3 и 5. Медиана, проведенная к большей из этих сторон, равна 5/2. Найдите радиус описанной окружности. ответ: 5/2
40. Разность сторон параллелограмма равна 2. Большая диагональ его равна 22, а меньшая диагональ равно большей стороне параллелограмма. Определите стороны параллелограмма. ответ: 12; 14
41. В равнобедренном треугольнике длина основания равна 24, а боковая сторона равна 15. Найдите радиус вписанной окружности. ответ: 4
42. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 30^о. Высота, проведенная к основанию, больше радиуса вписанного круга на 2. Найдите основание треугольника. ответ: $2(3+2\sqrt{3})$
43. Найдите длину стороны квадрата, вписанного в равнобедренный треугольник с основанием, равным 6, и боковой стороной, равной 5, так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а две другие - на боковых сторонах. ответ: 12/5
44. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 10 и 5/2. Найдите биссектрису угла при основании треугольника. ответ: 3
45. Найдите площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника, если основание этого треугольника равно 12, а боковая сторона равна 10. ответ: 625/16
46. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса $r$. Высота, проведенная к основанию, делится окружностью в отношении 1 : 2. Найдите площадь треугольника. ответ: $3\sqrt{3}r$
47. На большем катете, как на диаметре, описана полуокружность. Определите ее длину, если меньший катет равен 30, а хорда, соединяющая вершину прямого угла с точкой пересечения гипотенузы с полуокружностью, равна 24. ответ: $20\pi$
48. В прямоугольном треугольнике АВС на высоте СК, как на диаметре, построена окружность, которая пересекает катеты СА и СВ соответственно в точках M и N. Найдите катеты, если CM равно 12 и CN равно 18. ответ: 26; 39
49. Боковая сторона и основание равнобедренного треугольника равны соответственно 5 и 6. Определите расстояние между точкой пересечения высот треугольника и центром вписанной в него окружности. ответ: 3/4
50. Около окружности радиуса 5 описан прямоугольный треугольник, у которого высота, опущенная на гипотенузу, равна 12. Найдите гипотенузу. ответ: 25