Подготовка к ЕГЭ. Тригонометрические уравнения II

1. Решите уравнение $1+3^{ctg x}=6\cdot 9^{\displaystyle\frac{\sin (x/4)}{\sqrt{2}\sin x}}$
2. При каком значении $x$ значения функции $y=\arcsin 4x$ и $y=\arccos 3x$ совпадают?
3. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций $y=\sin 5x$ и $y=\cos 2x$
4. Найдите наименьший положительный корень уравнения $3\sin x+\sin 2x-3\cos x=1$
5. Найдите сумму корней уравнения $(1-2\sin^2 x)\sqrt{9-x^2}=0$
6. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $\sin^2 x-\frac{3}{5}\cdot 5^{\log_5(\sin x)}=\frac{2}{5}$
7. Определите количество корней уравнения $\sin x=-x^2+2x+2$
8. Решите уравнение $\log_2(x^2-4x+8)=\sin\frac{\pi x}{4}+\cos \pi x$
9. Найдите все значения $x$, при которых выполняется равенство $\cos 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x$
10. Найдите все корни уравнения $\frac{ctg 2x}{ctg x}+\frac{ctg x}{ctg 2x}+3=\frac{\sqrt{2\pi x-x^2}}{\sqrt{2\pi x-x^2}}$
11. При каких $x$ высказывание $\sin x+\sqrt{3}\cos x=\log_2 (2\pi -x)\cdot\frac{\log_72}{\log_7(2\pi -x)}\cdot\log_xx$ истинное?
12. Решите уравнение $\sqrt{2}\cos (x+\frac{\pi}{4})=\sin x+|\cos x|$
13. При каких значениях $x$ значение функции $y=\sqrt{3}|tg x|$ совпадает со значением функции $y=2\sin^2 x$?
14. Какие числа из промежутка $(3\pi/2; 2\pi )$ обращают в нуль функцию $y=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x}}+\cos\frac{x}{2}$?
15. Укажите абсциссы точек пересечения графиков функций $y=\cos 2x-\sin 2x$ и $y=-(\sqrt{1-x^2})^2-x^2$.
16. Найдите наименьший корень уравнения $4\sin 3x\sin x+2\cos 2x=\frac{1-\log_7x}{\log_7\frac{x}{7}}$

Ответы

1. $\pi/2+k\pi, k \in Z$
2. 0,2
3. $\pi/6+2k\pi/3, \pi/14+2k\pi/7, k \in Z$
4. $\pi/4$
5. 0
6. $-3\pi/2$
7. 2
8. 2
9. $\pi/12+k\pi, -\pi/24+k\pi/2, k \in Z$
10. $\pi/3; 2\pi/3; 4\pi/3; 5\pi/3$
11. $\pi/2; 11\pi/6$
12. $2k\pi, 5\pi/4+2k\pi, k \in Z$
13. $k\pi, k \in Z$
14. $(3\pi/2; 2\pi)$
15. $\pi/4$
16. $\pi/3$