Пробный вариант ЕГЭ Математика Профильный уровень 6 вариант

ЕГЭ Пробный вариант по математике 11 класс 2014

Профильный уровень

Вариант 6

Условия задач с ответами и решениями

Часть 1

1. Магазин делает пенсионерам скидку 5 %. Пенсионер заплатил за десяток яиц в этом магазине 33 рубля 25 копеек. Сколько рублей стоит в этом магазине десяток яиц без скидки? Решение

2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха 15 октября. Ответ дайте в градусах Цельсия. Решение

3. Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Одновременно из А в D выехали грузовик, автобус и легковой автомобиль. Грузовик едет через пункт В со средней скоростью 58 км/ч, автобус едет через пункт С со средней скоростью 48 км/ч. По третьей дороге - без промежуточных пунктов - едет легковой автомобиль со средней скоростью 52 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние (в км) между пунктами по дорогам. Какое транспортное средство доберется до D позже других? В ответе укажите, сколько часов оно будет находиться в пути. Решение

4. На клетчатой бумаге изображен круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 45? Решение

5. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 12. Решение

6. Найдите корень уравнения $x^2-15=(x+1)^2$ . Решение

7. В треугольнике ABC угол АСВ равен 90 градусов, АВ равно 5, АС равно $\sqrt{21}$ . Найдите косинус угла АВС. Решение

8. На рисунке изображен график некоторой функции $y=f(x)$ (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите $F(7)-F(3)$ , где $F(x)$ - одна из первообразных функции $y=f(x)$ . Решение

9. Площадь полной поверхности конуса равна 24. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса. Решение

Часть 2

10. Найдите значение выражения $8\cdot\sqrt[5]{16}\cdot\sqrt[20]{16}$ Решение

11. Трактор тащит сани с силой $F=80$ кН, направленной под острым углом $\alpha$ к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной $S=90$ м вычисляется по формуле $A=FS\cos\alpha$ . При каком максимальном угле $\alpha$ (в градусах) совершенная работа будет не менее 3600 кДж? Решение

12. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов. Высота пирамиды равна 18. Найдите объем пирамиды.

13. Первые 110 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 100 км - со скоростью 90 км/ч, а затем 150 км - со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. Решение

14. Найдите наибольшее значение функции $y=\log_3(-7+8x-x^2)+8$ Решение

15. Дано уравнение $ctg^2 x+2\sqrt{3} ctg x+3\sin^2 x=-3\sin^2 (x-\frac{3\pi}{2})$ а) Решите уравнение б) Найдите все решения уравнения на отрезке $[-\frac{11\pi}{2}; -4\pi]$ . Решение

16. На ребре $AA_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечена точка $K$ так, что $AK=6$ и $KA_1=2$ . Точка $O$ - центра грани $ABCD$ куба. а) Постройте сечение куба плоскостью $D_1OK$ . б) Найдите объем меньшей из частей куба, на которые он разбивается указанной плоскостью.

17. Решите неравенство $\log_{4x+5x^2}5-\log_{4x}5\le 0$

18. На сторонах $AD$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ взяты соответственно точки $M$ и $N$ , причем $M$ - середина $AD$ , а $BN : NC = 1 : 3$ . а) Докажите, что прямые $AN$ и $AC$ делят отрезок $BM$ на три равные части б) Найдите площадь четырехугольника, образованного пересечениями прямых $AN$ , $AC$ , $BD$ и $BC$ , если площадь параллелограмма $ABCD$ равна 30.

19. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого последующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк 53 240 рублей. Сергей выплатил долг тремя равными платежами. Какова сумма, взятая Сергеем в долг?

20. Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений $\left\{\begin{array}{l l} 6x^2+6y^2=13xy ,\\ (x-3a)^2+(y-3a)^2=13a^4\end{array}\right.$ имеет ровно два решения.

21. Из 26 последовательных нечетных чисел 1, 3, 5, ..., 51 выбрали 11 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть $A$ - шестое по величине среди этих чисел, а $B$ - среднее арифметическое выбранных одиннадцати чисел. а) Может ли $B-A$ равняться $\frac{3}{11}$ ? б) Может ли $B-A$ равняться $\frac{4}{11}$ ? в) Найдите наибольшее возможное значение $B-A$ .