Репетиционный экзамен МГУ 4 апреля 2015 г

Репетиционный экзамен МГУ 4 апреля 2015 г

МГУ

 

Условия задач

  1. Решите неравенство x^3+\displaystyle\frac{1}{3}x\ge-\frac{26}{3}
  2. Решите неравенство \log_{1-|x-2|}(x-\displaystyle\frac{3}{2})^2\le 2
  3. Решите уравнение \displaystyle\frac{\cos 6x}{\sin 4x}=1
  4. В треугольнике ABC угол ABC равен \displaystyle\frac{\pi}{4}, точка D лежит на стороне AC, при этом отношение \frac{AD}{DC}=\displaystyle\frac{4}{3+3\sqrt{3}},  а отношение величин углов ABD и DBC равно 1:2.  Найдите величину тангенса угла BAC.
  5. Двое друзей начинают плавать в бассейне, одновременно стартуя с его противоположных сторон. Друзья плавают без остановок с постоянными скоростями не переходя на другие дорожки в течение полутора часов. Первый плавает со скоростью \displaystyle\frac{5}{12} м/c, второй - \displaystyle\frac{5}{11} м/c, длина бассейна равна 50 м. Через сколько минут после старта второй пловец последний раз догонит первого точно у одной из сторон бассейна?
  6. Какие значения x являются решениями неравенства \sqrt{a-|x-3a|}\le a-|x-3a| при ровно трех значениях параметра a?
  7. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 стороны AB=1, BC=3, AA_1=2. Найдите расстояние между диагоналями AB_1 и A_1D граней AA_1B_1B и AA_1D_1D соответственно.

еще Математика. Варианты вступительных экзаменов в МГУ

Ответы

  1. [-2;+\infty)
  2. (1; 5/4]\cup [9/4; 3)
  3. (-1)^n\pi/20+\pi n/2, n\in Z, (-1)^{n+1}3\pi/20+\pi n/2, n\in Z
  4. 3
  5. 66
  6. 3
  7. 6/7