Решение диагностической работы 20 мая 2015 10 класс

Решение диагностической работы по математике

Профильный уровень

10 класс, 2015 г

Условия задач здесь

1. Материал сайта www.itmathrepetitor.ru Всего чисел $97-73+1=25$ (считаем, что фраза "от 73 до 97" подразумевает отрезок, то есть включая границы). Среди этих чисел ровно 8 делятся на 3.
Это можно установить прямым подсчетом, так как чисел всего 25. Если бы их было значительно больше, то можно было применить формулы прогрессии, так как числа, делящиеся на 3, образуют арифметическую прогрессию с разностью $d$ , равной 3.
Еще полезно знать, что среди $n$ первых натуральных чисел $[\displaystyle\frac{n}{k}]$ чисел делится на $k$ , где $[x]$ - целая часть числа $x$ , то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$ .
Тогда искомая вероятность равна $\displaystyle\frac{8}{25}=0,32$ . Дополнительно разобрать задачи с решениями по теории вероятностей можно здесь.

2. Материал сайта www.itmathrepetitor.ru. Так как сумма смежных углов равна 180^о, то угол треугольника при основании равен 180-123=57^o. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому второй угол при основании треугольника равен 57^o. Так как сумма всех углов треугольника равна 180^о, то искомый угол (против основания) равен 180-57-57=66^о.

3.1. Движение происходило в течение 5 с. Расстояние в конце 5 с равно 4 м. Тогда средняя скорость движения точки равна $\displaystyle\frac{4}{5}=0,8$ м/c

3.2. Так как $f'(x_0)=\mathrm{tg}\alpha$ , где $\alpha$ - угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ , то рассмотрим треугольник, выделенный красным цветом на рисунке. Так как он прямоугольный с катетами, равными $7$ и $5$ , то $\mathrm{tg}\alpha=\displaystyle\frac{7}{5}=1,4$ .

4. Площадь поверхности равна 10+15+10+5+5+15+7+7=74. Попробуйте самостоятельно определить какая грань какому слагаемому соответствует.

5. Так как $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ (основное тригонометрическое тождество), то $\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\pm\sqrt{1-\displaystyle\frac{24}{25}}=\pm\displaystyle\frac{1}{5}$ . Обратите внимание на $\pm$ . По условию $\alpha$ принадлежит III четверти, поэтому $\cos\alpha=-\displaystyle\frac{1}{5}<0$ .

6. Материал сайта www.itmathrepetitor.ru. Составим уравнение $40\cdot 2^{-\displaystyle\frac{t}{10}}=10$ . Тогда $2^{-\displaystyle\frac{t}{10}+2=2^0}\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{t}{10}+2=0$ , откуда $t=20$ .

7. Материал сайта www.itmathrepetitor.ru. Пусть смешали $x$ кг 18-процентного вещества с $x$ кг 20-процентного этого же вещества. Тогда масса раствора равна $2x$ кг. В нем собственно вещества содержится $x\cdot 0,18+x\cdot 0,2=0,38 x$ кг. Тогда концентрация в процентах равна $\displaystyle\frac{0,38x}{2x}\cdot 100=19%$ .

8. Материал сайта www.itmathrepetitor.ru. Согласно тригонометрических формулам, $\displaystyle\cos^2\alpha=\displaystyle\frac{\cos2\alpha+1}{2}$ . Поэтому $y=\sqrt{\displaystyle\frac{17+\cos2\alpha}{2}}$ . Так как $-\displaystyle\frac{\pi}{3}\le 2x\le\displaystyle\frac{\pi}{3}$ , то $\displaystyle\frac{1}{2}\le\cos2\alpha\le 1$ . Значит, $y_{max}=\sqrt{\displaystyle\frac{17+1}{2}}=3$ .

9. а) Применим к левой части уравнения формулу под номером 42 из справочника тригонометрических формул. Тогда уравнение примет вид $\cos(\pi+x-\displaystyle\frac{\pi}{2}-x)-\cos(\pi+x+\displaystyle\frac{\pi}{2}+x)=\sin x$ , откуда $-\cos(\displaystyle\frac{3\pi}{2}+2x)=\sin x$ . После применения формул приведения получим, что $-\sin 2x=\sin x$ $\Leftrightarrow -2\sin x\cos x=\sin x$ . В последнем переходе пригодилась формула синуса двойного угла.
Далее самой распространенной ошибкой было бы сократить левую и правую части на $\sin x$ и решить уравнение $-2\cos x=1$ . Дело в том, что при сокращении происходит потеря корней уравнения $\sin x=0$ . Поэтому необходимо решить совокупность из двух уравнений: $\sin x=0$ и $\cos x=-\displaystyle\frac{1}{2}$ . Получаем $x=\pi n, n\in Z$ или $x=\pm\displaystyle\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n\in Z$