Итоговая работа по математике

10 класс, 2015 год, углубленный уровень

Условия задач здесь

Решение

1. По формулам приведения $\cos^2(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin^2\alpha$. Из прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке, с углом $\alpha$, следует, что $\sin\alpha=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{1^2+3^2}}$, так как синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (гипотенузу определили по теореме Пифагора). Поэтому ответ равен $\displaystyle(\frac{3}{\sqrt{10}})^2=\frac{9}{10}=0,9$.

2. Заметим, что функция является периодической с периодом, равны 6 (так как $\cos x$ - периодическая функция). Поэтому для любого значения $x$ верно равенство $f(x-6)=f(x)$. По-простому говоря, мы можем любое количество раз отнимать от $x$ число 6, и значение функции при этом не измениться. Поэтому $f(50)=f(50-8\cdot 6)=f(2)$ (восемь раз отняли 6). По рисунку определяем, что $f(2)=1$. Это материал сайта www.itmathrepetitor.ru. Второй способ решения заключается в подстановке в функцию двух точек графика и определения $a$ и $b$ из полученной системы уравнений. Это способ более трудоемкий.

3. Опустим из данной точки (назовем ее точкой А) два перпендикуляра AB и AC на другую грань двугранного угла и на ребро двугранного угла соответственно. Получим прямоугольный треугольник  ABC, в котором AB равно 12, угол BCA равен 30^о. Поэтому гипотенуза AC равна 24 (катет против угла 30^о в два раза меньше гипотенузы).

4. 1) Да
2) Нет, так как эти три точки могут лежать на одной прямой, а через прямую можно провести бесконечно много плоскостей.
3) Нет, так как эти две плоскости могут совпадать (отсутствует важное слово "различные"), а такие плоскости не считаются параллельными.
4) Да

5.1. Материал сайта www.itmathrepetitor.ru Определим сначала коэффициент $k$ прямой, изображенной на рисунке. Один из способов следующий: запишем прямую в виде $y=kx+b$ и подставим две различные точки, через которые она проходит. Например, $(0;4)$ и $(2;0)$. Тогда $4=k\cdot 0+b$ и $0=k\cdot x+b$. Откуда $b=4$ и $k=-2$.
Если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны, поэтому у касательной, о которой идет речь в условии, коэффициент $k$ равен $-2$, но из геометрического смысла производной функции в точке следует, что $y'(x_0)=k$, где $x_0$ - абсцисса точки касания. Поэтому $2x_0-4=-2$ и $x_0=1$

5.2 До начала решения стоит повторить свойства логарифмов. Применим к первому слагаемому свойство 12, ко второму - свойство 10: $\log_9{27}+5^{\log_{25}4^{-1}}=\log_{3^2}3^3+5^{\frac{1}{2}\log_{5}{\frac{1}{4}}}$. Далее применим свойства 9, 10 и 4: $\frac{3}{2}\log_33+5^{\log_5{\sqrt{\frac{1}{4}}}}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$.

6. Материал сайта www.itmathrepetitor.ru. Так как после округления должно получиться минимум число 6, то само число должно быть не менее $5,5$. Подставим известные величины в формулу и запишем неравенство $0,3\cdot 4+0,3\cdot 8+0,4\cdot$Э$\ge 5,5$, откуда 0,4Э$\ge$1,9 и Э$\ge$4,75. Так как Э - целое число, то наименьшее значение Э равно 5.

7. Материал сайта www.itmathrepetitor.ru.  Пусть количество журналов в типографии равно $n$. Тогда количество журналов, которые не имеют дефект, равно $0,9n$, а количество журналов, которые имеют дефект и которые не выявлены при контроле качества, равно $0,1n\cdot 0,2=0,02n$. То есть на продажу поступает $0,9n+0,02n=0,92n$ журналов, среди которых $0,9n$  журналов без дефекта. Тогда искомая вероятность равна $\displaystyle\frac{0,9n}{0,92n}=0,97826...$. Найденное число осталось округлить до тысячных.

8. Материал сайта www.itmathrepetitor.ru. Четность функции означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (ось $y$). Функция имеет ровно пять нулей, то есть график функции пересекает ось абсцисс (ось $x$) ровно в пяти точках.

9. а) Материал сайта www.itmathrepetitor.ru. Разложим левую часть на множители. Для этого вынесем $\cos x$ за скобки. Уравнение примет вид $\cos x\cdot (2\cos^2x-\cos x-1)=0$. Так как произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому уравнение равносильно совокупности двух уравнений $\cos x=0$ и $2\cos^2x-\cos x-1=0$. Для первого уравнения $x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+\pi n, n\in Z$, где $Z$ - целые числа. Второе уравнение является квадратным относительно $\cos x$. Можно сделать замену $\cos x =t$, если трудно работать сразу с $\cos x$. После нахождения дискриминанта получим, что $\cos x=1$ или $\cos x=-\displaystyle\frac{1}{2}$. Откуда $x=2\pi n, n \in Z$ или $x=\pm\displaystyle\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n\in Z$.

10.1 Сначала необходимо найти производную функции. Можно для этого применить правило нахождение производной от частного, но лучше предварительно преобразовать функцию к более удобному виду, а именно $y=x+4+\displaystyle\frac{25}{x}$. Тогда $y'=x'+4'+(\displaystyle\frac{25}{x})'=1+25\cdot (x^{-1})'=1+25\cdot(-1)x^{-2}$$=1-\displaystyle\frac{25}{x^2}=\displaystyle\frac{x^2-25}{x^2}$$=\displaystyle\frac{(x-5)(x+5)}{x^2}$.
Далее находим нули производной и промежутки знакопостоянства, то есть промежутки, на которых производная или только положительна, или только отрицательна. По знаку производной функции можно определить монотонность самой функции: например, если производная положительна на интервале, то функция возрастает на это интервале. Для такого анализа поведения функции решим неравенство $\displaystyle\frac{(x-5)(x+5)}{x^2}\le 0$ методом интервалов.

10.2 Заметим, что $\log_2(x-3)^2=2\log_2|x-3|$. Обратите внимание на модуль, который появился из-за четности степени $2$. Так как слагаемое $\log_2^2(3-x)$ должно существовать, то $3-x>0$. Но тогда $|x-3|=3-x$, так как теперь можно утверждать, что подмодульное выражение $x-3$ отрицательно. Материал сайта www.itmathrepetitor.ru.  Поэтому неравенство принимает вид $\log_2^2(3-x)+2\log_2(3-x)-8<0$. Далее можно сделать замену $t=\log_2(3-x)$ и решить квадратное неравенство $t^2+2t-8<0$. В результате $t\in (-4; 2)$, то есть $\log_2(3-x)>-4$ и $\log_2(3-x)<2$. Откуда $3-x>\displaystyle\frac{1}{2^4}$ и $3-x<4$. Осталось решить полученную систему из двух линейных неравенств, то есть решить каждое неравенство и из решений выбрать общие значения $x$.

11. Материал сайта www.itmathrepetitor.ru. Первый случай: угол АВС равен 40^о. Так как этот угол острый, то основания высот AA₁ и CC₁ находятся на сторонах треугольника АВС, а не на их продолжениях.
Докажем, треугольник ABC равнобедренный, то есть угол ВАС равен углу АСВ.
Из параллельности A₁C₁ и AC следует, что угол BC₁A₁ равен углу BAC.
Заметим, что вокруг четырехугольника AC₁A₁C можно описать окружность (так как углы AC₁C и AA₁C равны и опираются на один и тот же отрезок АС). Тогда углы A₁C₁C и A₁AС равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Пусть угол A₁C₁C = $\alpha$. Тогда угол BC₁A₁ равен $90^o-\alpha$ и из треугольника AA₁C угол ACA₁ тоже равен $90^o-\alpha$. То есть углы BC₁A₁ и ACB равны,  а значит, углы ВАС и АСВ равны по $70^o$ как углы при основании равнобедренного треугольника с углом $40^o$ при вершине.

Второй случай: угол BAC равен $40^o$. Так как угол ABC тупой, то основания высот находятся на продолжениях сторон треугольника ABC. Продлим высоты до пересечения в точке К. Для треугольника применим идею первого случая для доказательства равенства углов KAC и ACK.  Тогда треугольник ABC тоже равнобедренный и углы ACB и ABC равны соответственно $40^o$ и $100^o$.

смотрите еще Итоговая работа 10 класс (базовый уровень)