Решение тренировочной работы МИОО 18 декабря 2015 г

Решение тренировочной работы МИОО

18 декабря 2015 г

ЕГЭ

11 класс, профильный уровень

Условия задач здесь

(в процессе...)

9.  www.itmathrepetitor.ru \displaystyle\frac{9axy+6xya}{3yax}. Здесь мы раскрыли внутреннюю скобку ("минус на минус дает плюс", как говорится) и знак ":" заменили на дробь. Так как от перестановки множителей произведение не меняется, то в числителе имеем подобные слагаемые. Получаем \displaystyle\frac{15axy}{3axy} = 5, так как одинаковые множители можно сокращать.

10. www.itmathrepetitor.ru Выразим из формулы v.  Для этого разделим на l_0 и возведем обе части равенства в квадрат. Тогда \displaystyle\frac{l^2}{l_0^2}=1-\frac{v^2}{c^2}, откуда \displaystyle\frac{v^2}{c^2}=\frac{l_0^2-l^2}{l_0^2} и v=\displaystyle\frac{c}{l_0}\sqrt{l_0^2-l^2}. Строго говоря, необходимо еще добавить "\pm", но знак "-" устно отсеяли из-за физического смысла переменных v, l_0 и c. www.itmathrepetitor.ru Подставим конкретные значения, предварительно согласовав единицы измерения, так как встречаются и метры, и километры. Тогда v=\displaystyle\frac{3\cdot 10^8}{95}\sqrt{95^2-57^2} м/c. Далее полезно вспомнить формулу разности квадратов для вычисления корня. В итоге, v=2,4\cdot 10^8 м/c или 2,4\cdot 10^5=240000 км/с.

11. 17 минут составляют \displaystyle\frac{17}{60} часа, 48 минут - это \displaystyle\frac{4}{5} ч. Пусть v_1 - скорость первого гонщика, v_2 - скорость второго в км/ч. Если за 17 минут первый прошел S км, то второй - S-8 км, поэтому S=v_1\cdot \displaystyle\frac{4}{5} и S-8=v_2\cdot\displaystyle\frac{4}{5}. Подставим S во второе уравнение. После упрощения находим, что v_1=v_2+10. Здесь выразили именно v_1, так как необходимо найти v_2. www.itmathrepetitor.ru
Вся дистанция составляет 8\cdot 85=680 км. Если первый гонщик прошел ее за t ч, то второй - за t+\displaystyle\frac{17}{60} ч. Тогда 680=v_1\cdot t и 680=v_2\cdot (t+\displaystyle\frac{17}{60}). Выразим из первого уравнения t=\displaystyle\frac{680}{v_1}, учтем, что v_1=v_2+10 и подставим во второе.  После упрощения получим квадратное уравнение v_2^2+10v_2-24000=0, из которого следует, что v_2=150 км/ч.

12. Так как показательная функция y=4^x возрастает на всей области определения (4>1), то функция y=4^{x^2-2x+5} принимает наименьшее значение при таком x, при котором принимает наименьшее значение выражение x^2-2x+5. Известно, что квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом (в нашем случае a=1>0) достигает минимума при x_0=\displaystyle\frac{-b}{2a} (абсцисса вершины параболы). Поэтому y_{min}=4^{1^2-2\cdot 1+5}=256 при x_{min}=1.
Задачу можно было решить и с помощью производной.

13. а) Так как левая часть - это произведение, а правая часть равна нулю, то 2\cos^2x+\sin x-2=0 или tg x=0. При этом следует помнить, что корни первого уравнения должны быть такими, чтобы существовал множитель \sqrt{5tg x}, то есть x\in I или III четвертям тригонометрический окружности и \cos x\ne 0.
Рассмотрим первое уравнение. С помощью основного тригонометрического тождества \sin^2x+\cos^2x=1 перейдем к синусу: 2\sin^2x-\sin x=0 \Leftrightarrow \sin x(2\sin x-1)=0, откуда \sin x=0 или \sin x=\displaystyle\frac{1}{2}. Значит, x=\pi n, n\in Z или x=(-1)^n\displaystyle\frac{\pi}{6}+\pi n, n\in Z. С учетом ограничений на x из-за \sqrt{5tg x} остаются лишь значения x=\pi n, n\in Z и x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z. www.itmathrepetitor.ru

б) Так как формулы полученных в а) решений просты, то для каждой можно подобрать значение n так, чтобы угол принадлежал отрезку [\pi; 5\pi/2], а затем это n изменять в большую и меньшую стороны до тех пор, пока получающиеся углы не выйдут из отрезка.
Второй способ является более универсальным.
Запишем для угла вида \displaystyle\frac{\pi}{6}+2\pi n ограничения в виде двойного неравенства \pi\le \displaystyle\frac{\pi}{6}+2\pi n \le\frac{5\pi}{2}. Упростим центральное выражение, для чего отнимем \displaystyle\frac{\pi}{6} от каждой из трех частей неравенства, затем разделим каждую на 2\pi. Тогда \displaystyle\frac{5}{12}\le n\le\frac{7}{6}. Так как n\in Z, то есть целое число, то n=1 (вообще, может получиться и несколько значений). www.itmathrepetitor.ru
Найденное n подставляем в формулу, с которой работали изначально, и находим конкретный угол \displaystyle\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{13\pi}{6}. Аналогично находим углы и из второй формулы решения.

15. Вспомним формулы сокращенного умножения, а именно (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 и ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2), где x_1,x_2 - корни квадратного трехчлена (кто забыл, как их находить, читайте статью). Тогда 9-30x+25x^2=(3-5x)^2=(5x-3)^2 и 14-9x+x^2=(x-2)(x-7). В общем, мы начали решать неравенство методом интервалов. www.itmathrepetitor.ru
Далее перенесем дробь из правой части неравенства в левую (при этом ее знак изменится) и разложим левую часть на множители. Получим \displaystyle\frac{(5x-3)^2}{x-2}\cdot (1-\frac{1}{x-7})\ge 0 \Leftrightarrow\displaystyle\frac{(5x-3)^2(x-8)}{(x-2)(x-7)}\ge 0. Затем рисуем картинку: числовая ось, нули скобок, знаки и т.д. Все схематично. Главное, чтобы точки располагались в правильном порядке (чем больше число, тем правее). Важно не забыть, что точки из знаменателя не должны попасть в ответ, что знак при переходе через точку не меняется, если степень соответствующей скобки четная. Еще в этой задаче мы сталкиваемся с самой обидной ошибкой многих школьников: не заметить, что точка 3/5 является решением, хотя вокруг нее промежутки со знаком "-".  Ответ: {3/5}\cup (2;7)\cup [8;+\infty)

16. а) Сначала рассмотрим на отдельном рисунке  вспомогательное утверждение.

Пусть в произвольный треугольник АВС вписана окружность с центром в точке О. Тогда \angle AOC =90^o+\displaystyle\frac{\angle ABC}{2}.

Доказательство: так как т. О - центр вписанной окружности, то есть точка пересечения биссектрис треугольника (инцентр), то \angle AOC = 180^o-(\displaystyle\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle C}{2}) =180^o -\displaystyle\frac{\angle A+\angle C}{2} =180^0-\displaystyle\frac{180^0-\angle B}{2} =180^0-90^0+\displaystyle\frac{\angle B}{2} =90^0+\displaystyle\frac{\angle B}{2}. Что и требовалось доказать.

Перейдем к решению основной задачи.

Первый способ.

Если мы докажем, что угол СОА равен 135o, тогда из вспомогательного утверждения следует, что угол СВА равен 2\cdot (135^o-90^o) = 90^o.

Так как радиус ОМ перпендикулярен касательной АС, то треугольники ОМА и СОМ прямоугольные и их гипотенузы соответственно равны \sqrt{4R^2+R^2}=R\sqrt{5} и \sqrt{9R^2+R^2}=R\sqrt{10} (по теореме Пифагора).

Применим для треугольника СОА теорему косинусов.

25R^2=10R^2+5R^2-2\cdot R\sqrt{10}\cdot R\sqrt{5}\cos\angle B \Leftrightarrow 10R^2=-2R^2\sqrt{50}\cos\angle B \Leftrightarrow \cos\angle B= -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}, откуда \angle B = 135^o (определили по таблице с учетом того, что \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} и  \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha) .

Доказательство закончено.

Идея второго способа.

Пусть \angle MAO = \alpha ("альфа") и \angle OCM = \gamma ("гамма"). Из треугольников ОАМ и ОСМ соответственно находим их косинусы и синусы. Так как \angle BCA = 2\gamma и \angle CAB = 2\alpha, то \angle CBA =180^o - 2\alpha-2\gamma. Далее с помощью тригонометрических формул находим \cos \angle CBA.

смотрите еще Демонстрационный вариант КИМ для проведения в 2016 году ЕГЭ по математике 11 класс Профильный уровень

 

Комментариев 11 к “Решение тренировочной работы МИОО 18 декабря 2015 г

  1. В 15 неправильно , ибо там при умножениии крест на крест все сокращается , и получается х больше или равен -6

    • в неравенствах нельзя крест накрест перемножать так, как вы предлагаете. 1/x>1 - проверьте, получаете неправильный ответ.

Комментарии закрыты