Сборник задач ЕГЭ по математике. Задачи B8

Математика. Подготовка к ЕГЭ
Задачи B8 c ответами

Планиметрия

  1. Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равен 15о. Найдите гипотенузу, если меньший катет равен 5.

  2. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4:3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.
  3. Основания трапеции равны 12 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые диагональ трапеции делит среднюю линию.
  4. Биссектриса угла, смежного с углом параллелограмма, параллельна одной из его диагоналей. Найдите угол, под которым пересекаются диагонали параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
  5. Периметр параллелограмма ABCD равен 72. На диагонали АС отмечена точки О, такая, что АО:ОС=5:3. Через точку О проведены две прямые, параллельные сторонам ВС и AD параллелограмма, и они пересекают стороны АВ и AD соответственно в точках K и M. Найдите периметр четырехугольника AKOM.
  6. Хорда АВ делит окружность на две дуги, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки С, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
  7. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О - центр окружности, а большая дуга АВ окружности, заключенная внутри этого угла, равна 116о. Ответ дайте в градусах.
  8. Около трапеции, один из углов которой равен 35о, описали окружность. Найдите меньший из остальных углов трапеции. Ответ дайте в градусах.
  9. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 6. Найдите гипотенузу этого треугольника, если его катеты относятся как 8:15.
  10. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.
  11. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно. Найдите АС, если ВК:КА=6:5 и КМ=18.
  12. В прямоугольном треугольнике, один из острых углов которого равен 60о, гипотенуза равна 19. Найдите меньший катет этого треугольника.
  13. В трапеции АВСD с основаниями AB и CD диагонали пересекаются в точке О. Найдите АО, если СО = 27, DC = 30 и АВ = 20.
  14. Один из углов параллелограмма на 56 градусов меньше другого угла. Найдите величину тупого угла параллелограмма в градусах.
  15. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите BC, если АВ = 13.
  16. Концы отрезка AB лежат по одну сторону от прямой d. Расстояние от точки А до прямой d равно 23, а расстояние от точки В до прямой d равно 45. Найдите расстояние от середины отрезка AB до прямой d.
  17. Один из углов выпуклого двенадцатиугольника равен 13о. Найдите сумму остальных его углов. Ответ дайте в градусах.
  18. Точки А и В делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 7:8. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.
  19. Найдите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 12.
  20. Около параллелограмма, одна из диагоналей которого равна 11, описана окружность. Найдите вторую диагональ параллелограмма.
  21. В треугольнике АВС известно, что АС = ВС = 6. Высота АН равна 3. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах
  22. В треугольнике АВС угол А равен 60о, угол В равен 82о. Найдите угол АОF, если О - точка пересечения высот AD, BE и CF. Ответ дайте в градусах.
  23. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.
  24. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.
  25. В параллелограмма АВСD сторона АВ меньше стороны AD на 2 и угол В тупой. Из вершины В на сторону AD опущена высота BH = 12. Найдите ВС, если AH = 9.
  26. Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.
  27. Сторона АВ тупоугольного треугольника АВС равна радиусу описанной около него окружности. Найдите тупой угол С. Ответ дайте в градусах.
  28. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.
  29. К окружности, вписанной в треугольник АВС, проведены три касательные, параллельные сторонам треугольника. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8 и 10. Найдите периметр данного треугольника.
  30. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 2:5:7. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 54.
  31. Даны два смежных угла, один из которых равен 34о. Найдите угол между биссектрисой второго из данных углов и их общей стороной. Ответ дайте в градусах.
  32. Найдите угол В треугольника ABC, если АВ = ВС, а внешний угол при вершине С равен 123о. Ответ дайте в градусах.
  33. Одно из оснований трапеции в 6 раз меньше ее средней линии. Во сколько раз оно меньше другого основания трапеции?
  34. Диагональ прямоугольника образует с одной из его сторон угол 11о. Найдите угол между прямыми, содержащими диагонали прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
  35. Угол между двумя высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен 67о. Найдите острый угол ромба. Ответ дайте в градусах.
  36. Окружность с центром О касается сторон угла с вершиной А в точках В и С. Найдите угол ВАС, если угол ВОС равен 127о. Ответ дайте в градусах.
  37. Отрезки АВ и ВС являются соответственно диаметром и хордой окружности с центром О. Найдите угол АОС, если угол АВС равен 67о. Ответ дайте в градусах.
  38. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Найдите угол ACD, если углы BAD и ADB равны соответственно 56о и 78о. Ответ дайте в градусах.
  39. В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 7.
  40. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, если один из углов треугольника равен 60о, а расстояние от центра окружности до вершины этого угла равно 10.

Ответы

  1. 10
  2. 28
  3. 8,5
  4. 90
  5. 45
  6. 105
  7. 26
  8. 35
  9. 34
  10. 2
  11. 33
  12. 9,5
  13. 18
  14. 118
  15. 26
  16. 34
  17. 1787
  18. 168
  19. 24
  20. 11
  21. 30
  22. 82
  23. 23
  24. 5
  25. 17
  26. 48
  27. 150
  28. 6
  29. 24
  30. 21
  31. 73
  32. 66
  33. 11
  34. 22
  35. 67
  36. 53
  37. 134
  38. 46
  39. 28
  40. 5