Математика. Подготовка к ЕГЭ
Задачи B8 c ответами

Планиметрия

1. Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равен 15^о. Найдите гипотенузу, если меньший катет равен 5.

2. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4:3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.
3. Основания трапеции равны 12 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые диагональ трапеции делит среднюю линию.
4. Биссектриса угла, смежного с углом параллелограмма, параллельна одной из его диагоналей. Найдите угол, под которым пересекаются диагонали параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
5. Периметр параллелограмма ABCD равен 72. На диагонали АС отмечена точки О, такая, что АО:ОС=5:3. Через точку О проведены две прямые, параллельные сторонам ВС и AD параллелограмма, и они пересекают стороны АВ и AD соответственно в точках K и M. Найдите периметр четырехугольника AKOM.
6. Хорда АВ делит окружность на две дуги, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки С, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
7. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О - центр окружности, а большая дуга АВ окружности, заключенная внутри этого угла, равна 116^о. Ответ дайте в градусах.
8. Около трапеции, один из углов которой равен 35^о, описали окружность. Найдите меньший из остальных углов трапеции. Ответ дайте в градусах.
9. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 6. Найдите гипотенузу этого треугольника, если его катеты относятся как 8:15.
10. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.
11. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно. Найдите АС, если ВК:КА=6:5 и КМ=18.
12. В прямоугольном треугольнике, один из острых углов которого равен 60^о, гипотенуза равна 19. Найдите меньший катет этого треугольника.
13. В трапеции АВСD с основаниями AB и CD диагонали пересекаются в точке О. Найдите АО, если СО = 27, DC = 30 и АВ = 20.
14. Один из углов параллелограмма на 56 градусов меньше другого угла. Найдите величину тупого угла параллелограмма в градусах.
15. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите BC, если АВ = 13.
16. Концы отрезка AB лежат по одну сторону от прямой d. Расстояние от точки А до прямой d равно 23, а расстояние от точки В до прямой d равно 45. Найдите расстояние от середины отрезка AB до прямой d.
17. Один из углов выпуклого двенадцатиугольника равен 13^о. Найдите сумму остальных его углов. Ответ дайте в градусах.
18. Точки А и В делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 7:8. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.
19. Найдите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 12.
20. Около параллелограмма, одна из диагоналей которого равна 11, описана окружность. Найдите вторую диагональ параллелограмма.
21. В треугольнике АВС известно, что АС = ВС = 6. Высота АН равна 3. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах
22. В треугольнике АВС угол А равен 60^о, угол В равен 82^о. Найдите угол АОF, если О - точка пересечения высот AD, BE и CF. Ответ дайте в градусах.
23. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.
24. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.
25. В параллелограмма АВСD сторона АВ меньше стороны AD на 2 и угол В тупой. Из вершины В на сторону AD опущена высота BH = 12. Найдите ВС, если AH = 9.
26. Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.
27. Сторона АВ тупоугольного треугольника АВС равна радиусу описанной около него окружности. Найдите тупой угол С. Ответ дайте в градусах.
28. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.
29. К окружности, вписанной в треугольник АВС, проведены три касательные, параллельные сторонам треугольника. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8 и 10. Найдите периметр данного треугольника.
30. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 2:5:7. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 54.
31. Даны два смежных угла, один из которых равен 34^о. Найдите угол между биссектрисой второго из данных углов и их общей стороной. Ответ дайте в градусах.
32. Найдите угол В треугольника ABC, если АВ = ВС, а внешний угол при вершине С равен 123^о. Ответ дайте в градусах.
33. Одно из оснований трапеции в 6 раз меньше ее средней линии. Во сколько раз оно меньше другого основания трапеции?
34. Диагональ прямоугольника образует с одной из его сторон угол 11^о. Найдите угол между прямыми, содержащими диагонали прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
35. Угол между двумя высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен 67^о. Найдите острый угол ромба. Ответ дайте в градусах.
36. Окружность с центром О касается сторон угла с вершиной А в точках В и С. Найдите угол ВАС, если угол ВОС равен 127^о. Ответ дайте в градусах.
37. Отрезки АВ и ВС являются соответственно диаметром и хордой окружности с центром О. Найдите угол АОС, если угол АВС равен 67^о. Ответ дайте в градусах.
38. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Найдите угол ACD, если углы BAD и ADB равны соответственно 56^о и 78^о. Ответ дайте в градусах.
39. В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 7.
40. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, если один из углов треугольника равен 60^о, а расстояние от центра окружности до вершины этого угла равно 10.

Ответы

1. 10
2. 28
3. 8,5
4. 90
5. 45
6. 105
7. 26
8. 35
9. 34
10. 2
11. 33
12. 9,5
13. 18
14. 118
15. 26
16. 34
17. 1787
18. 168
19. 24
20. 11
21. 30
22. 82
23. 23
24. 5
25. 17
26. 48
27. 150
28. 6
29. 24
30. 21
31. 73
32. 66
33. 11
34. 22
35. 67
36. 53
37. 134
38. 46
39. 28
40. 5