ШАД Официальный список книг 2017 (описание и скачать)

ШАД Официальный список книг 2017

яндекс

  1. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 1, Основы алгебры 2000, Физматлит. скачать | описание
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 2, Линейная алгебра 2000, Физматлит. скачать | описание
  3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры, 1968, Наука. скачать | описание
  4. Винберг Э.Б. Курс алгебры, 2001, Факториал. скачать | описание
  5. Кострикин А.И., Сборник задач по алгебре,  2001. скачать | описание
  6. Архипов Г.И., Садовничий В.Н., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу 5-е изд., испр. - М.: 2004. — 640 с. скачать | описание
  7. Зорич В.А. , Математический анализ (Часть 1) 1997 скачать | описание
  8. Зорич В.А. , Математический анализ (Часть 2) 1984 скачать | описание
  9. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа Том 1 2003 скачать | описание
  10. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа Том 2 2004 скачать | описание
  11. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа Том 3 2006 скачать | описание
  12. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу 1997 скачать | описание
  13. Виленкин Н.Я. Комбинаторика 1969 скачать | описание
  14. Генкин С.А. Ленинградские математические кружки скачать | описание
  15. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей 2005 скачать | описание
  16. Гнеденко Б.В., Xинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей 1970 скачать | описание
  17. Ширяев А.Н. Вероятность скачать
  18. Севастьянов Б.А. Курс теорий вероятностей и математической статистики 1982 скачать
  19. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей  скачать | описание
  20. Шень А. Программирование: теоремы и задачи 2004 скачать | описание
  21. Вирт Н. Алгоритмы + структуры данных = программы 1991 скачать | описание
  22. Кормен Т., Лейзер Ч. Алгоритмы. Построение и анализ 2013 скачать | описание

Кормен Т., Лейзер Ч. Алгоритмы. Построение и анализ

Часть I. Основы 
Глава 1. Роль алгоритмов в вычислениях
Глава 2. Приступаем к изучению
Глава 3. Рост функций
Глава 4. Рекуррентные соотношения
Глава 5. Вероятностный анализ и рандомизированные алгоритмы

Часть II. Сортировка и порядковая статистика 
Глава 6. Пирамидальная сортировка
Глава 7. Быстрая сортировка
Глава 8. Сортировка за линейное время
Глава 9. Медианы и порядковые статистики

Часть III. Структуры данных 
Глава 10. Элементарные структуры данных
Глава 11. Хеш-таблицы
Глава 12. Бинарные деревья поиска
Глава 13. Красно-черные деревья
Глава 14. Расширение структур данных

Часть IV. Усовершенствованные методы разработки и анализа 
Глава 15. Динамическое программирование
Глава 16. Жадные алгоритмы
Глава 17. Амортизационный анализ

Часть V. Сложные структуры данных 
Глава 18. B-деревья
Глава 19. Биномиальные пирамиды
Глава 20. Фибоначчиевы пирамиды
Глава 21. Структуры данных для непересекающихся множеств

Часть VI. Алгоритмы для работы с графами 
Глава 22. Элементарные алгоритмы для работы с графами
Глава 23. Минимальные остовные деревья
Глава 24. Кратчайшие пути из одной вершины
Глава 25. Кратчайшие пути между всеми парами вершин
Глава 26. Задача о максимальном потоке

Часть VII. Избранные темы 
Глава 27. Сортирующие сети
Глава 28. Работа с матрицами
Глава 29. Линейное программирование
Глава 30. Полиномы и быстрое преобразование фурье
Глава 31. Теоретико-числовые алгоритмы
Глава 32. Поиск подстрок
Глава 33. Вычислительная геометрия
Глава 34. Np-полнота
Глава 35. Приближенные алгоритмы

Часть VIII. Приложения: математические основы 
Приложение А. Ряды
Приложение Б. Множества и прочие художества
Приложение В. Комбинаторика и теория вероятности
Библиография
Предметный указатель

Вирт Н. Алгоритмы + структуры данных = программы

Глава 1. Фундаментальные структуры данных
1.1. Введение
1.2. Концепция типа для данных
1.3. Простые типы данных
1.4. Стандартные простые типы
1.5. Ограниченные тисы
1.6. Массивы
1.7. Записи
1.8. Записи с вариантами
1.9. Множество
1.10. Представление массивов, записей и множеств
1.11. Последовательный файл

Глава 2. Сортировка
2.1. Введение
2.2. Сортировка массивов
2.3. Сортировка последовательных файлов

Глава 3. Рекурсивные алгоритмы
3.1. Введение
3.2. Когда не нужно использовать рекурсию
3.3. Два примера рекурсивных программ
3.4. Алгоритмы с возвратом
3.5. Задача о восьми ферзях
3.6. Задача об устойчивых браках
3.7. Задача оптимального выбора

Шень А. Программирование: теоремы и задачи

Содержание
1. Переменные, выражения, присваивания 8
1.1. Задачи без массивов 8
1.2. Массивы 23
1.3. Индуктивные функции (по А. Г. Кушниренко) 37
2. Порождение комбинаторных объектов 42
2.1. Размещения с повторениями 42
2.2. Перестановки 43
2.3. Подмножества 44
2.4. Разбиения 47
2.5. Коды Грея и аналогичные задачи 48
2.6. Несколько замечаний 54
2.7. Подсчёт количеств 56
3. Обход дерева. Перебор с возвратами 59
3.1. Ферзи, не бьющие друг друга: обход дерева позиций ... 59
3.2. Обход дерева в других задачах 69
4. Сортировка 71
4.1. Квадратичные алгоритмы 71
4.2. Алгоритмы порядка nlogn 72
4.3. Применения сортировки 79
4.4. Нижние оценки для числа сравнений при сортировке ... 80
4.5. Родственные сортировке задачи 82
5. Конечные автоматы и обработка текстов 89
5.1. Составные символы, комментарии и т. п 89
5.2. Ввод чисел 91
6. Типы данных 95
6.1. Стеки 95
6.2. Очереди 102
6.3. Множества 110
6.4. Разные задачи 114
7. Рекурсия 116
7.1. Примеры рекурсивных программ 116
7.2. Рекурсивная обработка деревьев 119
7.3. Порождение комбинаторных объектов, перебор 122
7.4. Другие применения рекурсии 126
8. Как обойтись без рекурсии 134
8.1. Таблица значений (динамическое программирование) . . 134
8.2. Стек отложенных заданий 139
8.3. Более сложные случаи рекурсии 142
9. Разные алгоритмы на графах 145
9.1. Кратчайшие пути 145
9.2. Связные компоненты, поиск в глубину и ширину 149
10. Сопоставление с образцом 155
10.1. Простейший пример 155
10.2. Повторения в образце — источник проблем 158
10.3. Вспомогательные утверждения 160
10.4. Алгоритм Кнута - Морриса - Пратта 160
10.5. Алгоритм Бойера-Мура 163
10.6. Алгоритм Рабина 165
10.7. Более сложные образцы и автоматы 167
10.8. Суффиксные деревья 174
11. Анализ игр 187
11.1. Примеры игр 187
11.2. Цена игры 189
11.3. Вычисление цены: полный обход 197
11.4. Альфа-бета-процедура 200
11.5. Ретроспективный анализ 204
12. Оптимальное кодирование 206
12.1. Коды 206
12.2. Неравенство Крафта- Макмиллана 207
12.3. Код Хаффмена 211
12.4. Код Шеннона - Фано 213
13. Представление множеств. Хеширование 217
13.1. Хеширование с открытой адресацией 217
13.2. Хеширование со списками 220
14. Деревья. Сбалансированные деревья 226
14.1. Представление множеств с помощью деревьев 226
14.2. Сбалансированные деревья 234
15. Контекстно-свободные грамматики 245
15.1. Общий алгоритм разбора 245
15.2. Метод рекурсивного спуска 251
15.3. Алгоритм разбора для ЬЬ(1)-грамматик 262
16. Синтаксический разбор слева направо (LR) 270
16.1. LR-процессы 270
16.2. Ы1(0)-грамматики 276
16.3. 8ЬК(1)-грамматики 282
16.4. Ы1(1)-грамматики, ЬАЫ1(1)-грамматики 283
16.5. Общие замечания о разных методах разбора 286
Книги для чтения 288
Предметный указатель 289
Указатель имён 295

Севастьянов Б.А. Сборник задач по теории вероятностей

ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ I. ЗАДАЧИ
Глава 1. Простейшие вероятностные схемы
§ 1. Классическое определение вероятности
§ 2. Геометрические вероятности
Глава 2. Последовательности испытаний
§ 1. Условные вероятности
§ 2. Независимость событий
§ 3. Формула полной вероятности
§ 4. Схема Бернулли
§ 5. Полиномиальная схема
Глава 3. Случайные величины
§ 1. Распределение вероятностей случайных величин
§ 2. Математические ожидания
§ 3. Условные распределения
§ 4. Нормальное распределение
Глава 4. Предельные теоремы. Производящие и характеристические функции
S 1. Закон больших чисел. Лемма Бореля — Кантелли
§ 2, Прямые методы доказательства предельных теорем
§ 3. Характеристические а производящие функции
§ 4. Неравенства Бонферрони и сходимость к распределению Пуассона
§ 5. Применения центральной предельной теоремы и метода характеристических функций
Глава 5. Простейшие случайные процессы
§ 1. Разные задачи
§ 2. Пуассоновские процессы.
§ 3. Цепи Маркова
Глава 6. Элементы математической статистики
Часть II. Указания
Часть III. Решения

Гнеденко Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к седьмому изданию
Предисловие к пятому изданию
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ВЕРОЯТНОСТИ
Глава 1. Вероятности событий
§ 1. Понятие вероятности
§ 2. Невозможные и достоверные события
§ 3. Задача
Глава 2. Правило сложения вероятностей
§ 4. Вывод правила сложения вероятностей
§ 5. Полная система событий
§ 6. Примеры
Глава 3. Условные вероятности и правило умножения
§ 7. Понятие условной вероятности
§ 8. Вывод правила умножения вероятностей
§ 9. Независимые события
Глава 4. Следствия правил сложения и умножения
§ 10. Вывод некоторых неравенств
§ 11. Формула полной вероятности
§ 12. Формула Байеса
Глава 5. Схема Бернулли
§ 13. Примеры
§ 14. Формулы Бернулли
§ 15. Наивероятнейшее число наступлений события
Глава 6. Теорема Бернулли
§ 16. Содержание теоремы Бернулли
§ 17. Доказательство теоремы Бернулли
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Глава 7. Случайная величина и закон распределения
§ 18. Понятие случайной величины
§ 19. Понятие закона распределения
Глава 8. Средние значения
§ 20. Определение среднего значения случайной величины
Глава 9. Средние значения суммы и произведения
§ 21. Теорема о среднем значении суммы
§ 22. Теорема о среднем значении произведения
Глава 10. Рассеяние и средние уклонения
§ 23. Недостаточность среднего значения для характеристики случайной величины
§ 24. Различные способы измерения рассеяния случайной величины
§ 25. Теоремы о среднем квадратическом уклонении
Глава 11. Закон больших чисел
§ 26. Неравенство Чебышева
§ 27. Закон больших чисел
§ 28. Доказательство закона больших чисел
Глава 12. Нормальные законы
§ 29. Постановка задачи
§ 30. Понятие кривой распределения
§ 31. Свойства нормальных кривы распределения
§ 32. Решение задач
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Глава 13. Введение в теорию случайных процессов
§ 33. Представление о случайном процессе
§ 34. Понятие случайного процесса. Разные типы случайных процессов
§ 35. Простейший поток событий
§ 36. Одна задача теории массового обслуживания
§ 37. Об одной задаче теории надежности
Заключение
Приложение.
Таблица значений величины Ф(а).

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к седьмому изданию 11
Предисловие к шестому изданию 11
Из предисловия ко второму изданию 13
Из предисловия к первому изданию 13
Введение 15
Глава 1. Случайные события и их вероятности 20
§ 1. Интуитивные представления о случайных событиях 20
§ 2. Поле событий. Классическое определение вероятности 24
§ 3. Примеры 32
§ 4. Геометрические вероятности 40
§ 5. 0 статистической оценке неизвестной вероятности 46
§ 6. Аксиоматическое построение теории вероятностей 49
§ 7. Условная вероятность и простейшие основные формулы 55
§ 8. Примеры 62
Глава 2. Последовательность независимых испытаний 71
§ 9. Вводные замечания 71
§ 10. Локальная предельная теорема 75
§ 11. Интегральная предельная теорема 82
§ 12. Применения интегральной теоремы Муавра—Лапласа 89
§ 13. Теорема Пуассона 93
§ 14. Иллюстрация схемы независимых испытаний 98
Глава 3. Цепи Маркова 104
§ 15. Определение цепи Маркова 104
§ 16. Матрица перехода 105
§ 17. Теорема о предельных вероятностях 106
Глава 4. Случайные величины и функции распределения 111
§ 18. Основные свойства функций распределения 111
§ 19. Непрерывные и дискретные распределения 117
§ 20. Многомерные функции распределения 121
§ 21. Функции от случайных величин 129
§ 22. Интеграл Стилтьеса 140
Глава 5. Числовые характеристики случайных величин 149
§ 23. Математическое ожидание 149
§ 24. Дисперсия 154
§ 25. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии 160
§ 26. Моменты 165
Глава 6. Закон больших чисел 174
§ 27. Массовые явления и закон больших чисел 174
§ 28. Закон больших чисел в форме Чебышева 177
§ 29. Необходимое и достаточное условие для закона больших чисел 181
§ 30. Усиленный закон больших чисел 184
§ 31. Теорема В. И.Вшвенко 190
Глава 7. Характеристические функции 198
§ 32. Определение и простейшие свойства характеристических функций 198
§ 33. Формула обращения и теорема единственности 203
§ 34. Теоремы Хелли 208
§ 35. Предельные теоремы для характеристических функций 212
§ 36. Положительно определенные функции 216
§ 37. Характеристические функции многомерных случайных величин 222
§ 38. Преобразование Лапласа—Стилтьеса 226
Глава 8. Классическая предельная теорема 234
§ 39. Постановка задачи 234
§ 40. Теорема Линдеберга 237
§ 41. Локальная предельная теорема 242
Глава 9. Теория безгранично делимых законов распределения 249
§ 42. Безгранично делимые законы и их основные свойства 249
§ 43. Каноническое представление безгранично делимых законов 252
§ 44. Предельная теорема для безгранично делимых законов 257
§ 45. Постановка задачи о предельных теоремах для сумм 260
§ 46. Предельные теоремы для сумм 261
§ 47. Условия сходимости к законам нормальному и Пуассона 264
§ 48. Суммирование независимых случайных величин в случайном числе 267
Глава 10. Теория стохастических процессов 273
§ 49. Вводные замечания 273
§ 50. Процесс Пуассона 277
§ 51. Процессы гибели и размножения 282
§ 52. Условные функции распределения и формула Байеса 293
§ 53. Обобщенное уравнение Маркова 297
§ 54. Непрерывный случайный процесс. Уравнения Колмогорова 298
§ 55. Чисто разрывный процесс. Уравнения Колмогорова—Феллера 306
§ 56. Однородные случайные процессы с независимыми приращениями 313
§ 57. Понятие стационарного случайного процесса. Теорема Хинчина о корреляционной функции 318
§ 58. Понятие стохастического интеграла. Спектральное разложение стационарных процессов 323
§ 59. Эргодическая теорема Биркгофа—Хинчина 326
Глава 11. Элементы статистики 331
§ 60. Основные задачи математической статистики 331
§ 61. Классический метод определения параметров распределения 334
§ 62. Исчерпывающие статистики 344
§ 63. Доверительные границы и доверительные вероятности 345
§ 64. Проверка статистических гипотез 352
Дополнение 1. Определение математического ожидания в аксиоматике Колмогорова 360
Дополнение 2. Лемма Бореля—Кантелли и ее применение 363
Дополнение 3. Очерк по истории теории вероятностей 366
Глава 1. Предыстория понятия вероятности и случайного события 366
§ 1. Первые данные 366
§ 2. Исследования Дж. Кардано и Н.Тарталья 368
§ 3. Исследования Галилео Галилея 371
§ 4. Вклад Б. Паскаля и П. Ферма в развитие теории вероятностей 374
§ 5. Работа X. Гюйгенса 379
§ 6. О первых исследованиях по демографии 383
Глава 2. Период формирования основ теории вероятностей 386
§ 7. Возникновение классического определения вероятности 386
§ 8. О формировании понятия геометрической вероятности 390
§ 9. Основные теоремы теории вероятностей 394
§ 10. Задача о разорении игрока 399
§11. Возникновение предельных теорем теории вероятностей 400
§ 12. Статистический контроль качества продукции 403
§ 13. Дальнейшее развитие понятий случайного события и его вероятности 406
Глава 3. К истории формирования понятия случайной величины 408
§ 14. Развитие теории ошибок наблюдений 408
§ 15. Формирование понятия случайной величины 411
§ 16. Закон больших чисел 414
§ 17. Центральная предельная теорема 416
§ 18. Общие предельные распределения для сумм 422
§ 19. Закон повторного логарифма 425
§ 20. Формирование понятий математического ожидания и дисперсии 427
Глава 4. К истории теории случайных процессов 430
§ 21. Общие представления 430
§ 22. Дальнейшее развитие 434
Таблица значений функции <р(х) 436
Таблица значений функции Ф(х) 437
Таблица значений функции f(а) 438
Таблица значений функции 440
Список литературы 441
Список изданий книги Б. В. Гнеденко «Курс теории вероятностей» 442
О Борисе Владимировиче Гнеденко 443
Алфавитный указатель 444

Генкин С.А. Ленинградские математические кружки

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
Часть 1
Нулевой цикл
Четность
Комбинаторика-1
Делимость и остатки
Принцип Дирихле
Графы-1
Неравенство треугольника
Игры
Задачник первого года
Часть 2
Индукция
Делимость-2
Комбинаторика-2
Инвариант
Графы-2
Геометрия
Системы счисления
Неравенства
Задачник второго года
Приложение: математические соревнования
Ответы, решения, указания
Список литературы.

Виленкин Н.Я. Комбинаторика

Оглавление
Предисловие
Глава I. Общие правила комбинаторики 9
Суеверные велосипедисты 9
Размещения с повторениями J0
Системы счисления
Секретный замок
Код Морзе
Морской семафор 15
Электронная цифровая вычислительная машина . 15
Генетический код 16
Общие правила комбинаторики 17
Задача о домино 19
Команда космического корабля 20
Задачи о шашках 21
Сколько человек не знают иностранных языков? ... .24
Формула включений и исключений 25
В чем ошибка? 27
Решето Эратосфеиа 28
Гл а в а II. Размещения, перестановки и сочетания 31
Футбольное первенство 31
Размещения без повторений 32
Научное общество 33
Перестановки 33
Задача о ладьях 34
Лингвистические проблемы 35
Хоровод 36
Перестановки с повторениями 37
Анаграммы 39
Сочетания 41
Генуэзская лотерея . . . , 44
Покупка пирожных 47
Сочетания с повторениями 49
Снова футбольное первенство 51
Свойства сочетаний 52
Частный случай формулы включений и исключений . . 59
Знакопеременные суммы сочетаний 59
Глава III. Комбинаторные задачи с ограничениями 63
Львы и тигры 63
Постройка лестницы 64
Книжная полка  65
Рыцари короля Артура  66
Девушка спешит на свидание 67
Сеанс телепатии 70
Общая задача о смещении   73
Субфакториалы 74
Караван в пустыне 76
Катание на карусели 79
Очередь в кассу 80
Задача о двух шеренгах 85
Новые свойства сочетаний 86
Глава IV. Комбинаторика разбиений 90
Игра в домино 91
Раскладка по ящикам 92
Букет цветов 93
Задача о числе делителей 94
Сбор яблок 95
Сбор грибов , 96
Посылка фотографий 96
Флаги на мачтах 98
Полное число сигналов 99
Разные статистики 100
Разбиения чисел 101
Отправка бандероли 101
Общая задача о наклейке марок . 103
Комбинаторные задачи теории информации 104
Проблема абитуриента 105
Уплата денег 107
Покупка конфет 108
Как разменять гривенник? ПО
Разбиение чисел на слагаемые 112
Диаграммная техника 113
Двойственные диаграммы 115
Формула Эйлера 116
Глава V. Комбинаторика на шахматной доске 121
Человек бродит по городу 121
Арифметический квадрат 122
Фигурные числа 123
Арифметический треугольник 125
Расширенный арифметический треугольник 126
Шахматный король 128
Обобщенный арифметический треугольник . . 129
Обобщенные арифметические треугольники и m-ичная система счисления 131
Некоторые свойства чисел Cm(k,n) 131
Шашка в углу 133
Арифметический пятиугольник .135
Геометрический способ доказательства свойств сочетаний 137
Случайные блуждания
Броуновское движение
У Шемаханской царицы
Поглощающая стенка
Блуждания по бесконечной плоскости 14о
Общая задача о ладьях  147
Симметричные расстановки
Два коня 151
Глава VI. Рекуррентные соотношения   154
Числа Фибоначчи 135
Другой метод доказательства 158
Процесс последовательных разбиений 159
Умножение и деление чисел 161
Задачи о многоугольниках ... 163
Затруднение мажордома 165
Счастливые троллейбусные билеты 169
Рекуррентные таблицы 170
Другое решение проблемы мажордома .. 172
Решение рекуррентных соотношений 174
Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами . 175
Случай равных корней характеристического уравнения 178
Третье решение задачи мажордома 180
Глава VII. Комбинаторика и ряды 182
Деление многочленов 182
Алгебраические дроби и степенные ряды 183
Действия над степенными рядами 187
Применение степенных рядов для доказательства тождеств 190
Производящие функции 191
Бином Ньютона 192
Полиномиальная формула 195
Ряд Ньютона 199
Извлечение квадратных корней 202
Производящие функции и рекуррентные соотношения . . 205
Разложение на элементарные дроби 217
Об едином нелинейном рекуррентном соотношении .219
Производящие функции и разбиения чисел 212
Сводка результатов по комбинаторике разбиений .... 216
Задачи по комбинаторике .... 219
Решения и ответы 255

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу

ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Отдел I. Введение в анализ 7
§ I. Вещественные числа 7
§ 2. Теория последовательностей 12
§ 3. Понятие функции 26
§ 4. Графическое изображение функции .... 35
§ 5. Предел функции 47
§ 6. О-символика 72
§ 7. Непрерывность функции 77
§ 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически 87
§ 9. Равномерная непрерывность функции 90
§ 10. Функциональные уравнения 94
Отдел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 96
§ 1. Производная явной функции 96
§ 2. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной в неявном виде 114
§ 3. Геометрический смысл производной 117
§ 4. Дифференциал функции 120
§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков 124
§ 6. Теоремы Ролля, Лагранжа н Коши .... 134
§ 7. Возрастание н убывание функции. Неравенства 140
§ 8. Направление вогнутости. Точки перегиба . . 144
§ 9. Раскрытие неопределенностей 147
§ 10. Формула Тейлора 151
§11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции 156
§ 12. Построение графиков функций по характерным точкам 161
§ 13. Задачи на максимум и минимум функций . . . 164
§ 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта 167
§ 15. Приближенное решение уравнений .... 170
Отдел III. Неопределенный интеграл 172
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы ... 172
§ 2. Интегрирование рациональных функций ... 184
§ 3. Интегрирование некоторых иррациональных функций 187
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций 192
§ 5. Интегрирование различных трансцендентных функций 198
§ 6. Разные примеры на интегрирование функций 201
Отдел IV. Определенный интеграл 204
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы . . 204
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных 208
§ 3. Теоремы о среднем 219
§ 4. Несобственные интегралы 223
§ 5. Вычисление площадей 230
§ 6. Вычисление длин дуг 234
§ 7. Вычисление объемов 236
§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращения 239
§ 9. Вычисление моментов. Координаты центра тяжести 240
§ 10. Задачи из механики и физики 242
§11. Приближенное вычисление определенных интегралов 244
Отдел V. Ряды 246
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 246
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов 259
§ 3. Действия над рядами 267
§ 4. Функциональные ряды 268
§ 5. Степенные ряды 281
§ 6. Ряды Фурье 294
§ 7. Суммирование рядов 300
§ 8. Нахождение определенных интегралов с помощью рядов 305
§ 9. Бесконечные произведения 307
§ 10. Формула Стирлинга 314
§ 11. Приближение непрерывных функций многочленами 315
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Отдел VI. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 318
§ 1. Предел функции. Непрерывность 318
§ 2. Частные производные. Дифференциал функции 324
§ 3. Дифференцирование неявных функций .... 338
§ 4. Замена переменных 348
§ 5. Геометрические приложения 361
§ 6. Формула Тейлора 367
§ 7. Экстремум функции нескольких переменных 370
Отдел VII. Интегралы, зависящие от параметра . . 379
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 379
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость интегралов 385
§ 3. Дифференцирование н интегрирование несоб¬ственных интегралов под знаком интеграла , . 392
§ 4. Эйлеровы интегралы 400
§ 5. Интегральная формула Фурье 404
Отдел VIII. Кратные и криволинейные интегралы . 406
§ 1. Двойные интегралы 406
§ 2. Вычисление площадей , 414
§ 3. Вычисление объемов 416
§ 4. Вычисление площадей поверхностей .... 419
§ 5. Приложения двойных интегралов к механике 421
§ 6. Тройные интегралы 424
§ 7. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов 428
§ 8. Приложения тройных интегралов к механике 431
§ 9. Несобственные двойные и тройные интегралы 435
§ 10. Многократные интегралы 439
§ 11. Криволинейные интегралы 443
§ 12. Формула Грниа 452
§ 13. Физические приложения криволинейных интегралов . .' 456
§ 14. Поверхностные интегралы 460
§ 15. Формула Стокса 464
§ 16. Формула Остроградского 466
§ 17. Элементы теории поля 471
Ответы 480

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа Том 1

Учебник соответствует новой программе для ВУЗов. Особое внимание в учебнике обращено на изложение качественных и аналитических методов, в нем нашли отражение и некоторые геометрические приложения анализа. Предназначается студентам университетов и физико-математических, и инженерно-физических специальностей втузов, а также студентам других специальностей для углубленной математической подготовки.

Оглавление
Предисловие 3
Введение 7
Глава 1
Дифференциальное исчисление функций одной переменной

§ 1. Множества и функции. Логические символы 13
1.1. Множества. Операции над множествами 13
1.2*. Функции 16
1.3*. Конечные множества и натуральные числа
1.4. Группировки элементов конечного множества 29
1.5. Логические символы 33
§ 2. Действительные числа 35
2.1. Свойства действительных чисел 35
2.2*. Свойства сложения и умножения 39
2.3*. Свойства упорядоченности 47
2.4*. Свойство непрерывности действительных чисел 51
2.5*. Сечения в множестве действительных чисел 52
2.6*. Рациональные степени действительных чисел 58
2.7. Формула бинома Ньютона 60
§ 3. Числовые множества 63
3.1. Расширенная числовая прямая 63
3.2. Промежутки действительных чисел. Окрестности 64
3.3. Ограниченные и неограниченные множества 68
3.4. Верхняя и нижняя грани числовых множеств 70
3.5*. Арифметические свойства верхних и нижних граней 75
3.6. Принцип Архимеда 78
3.7. Принцип вложенных отрезков 80
3.8*. Единственность непрерывного упорядоченного поля 85
§ 4. Предел числовой последовательности 92
4.1. Определение предела числовой последовательности 92
4.2. Единственность предела числовой последовательности 100
4.3. Переход к пределу в неравенствах 101
4.4. Ограниченность сходящихся последовательностей 107
4.5. Монотонные последовательности 108
4.6. Теорема Больцано—Вейерштрасса 113
4.7. Критерий Коши сходимости последовательности 115
4.8. Бесконечно малые последовательности 118
4.9. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями 120
4.10. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями 133
4.11*. Счетные и несчетные множества 141
4.12*. Верхний и нижний пределы последовательности 149
§ 5. Предел и непрерывность функций 153
5.1. Действительные функции 153
5.2. Способы задания функций 156
5.3. Элементарные функции и их классификация 160
5.4. Первое определение предела функции 162
5.5. Непрерывные функции 172
5.6. Условие существования предела функции 177
5.7. Второе определение предела функции 179
5.8. Предел функции по объединению множеств 184
5.9. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность 185
5.10. Свойства пределов функций 189
5.11. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 194
5.12. Различные формы записи непрерывности
5.13. Классификация точек разрыва функции 202
5.14. Пределы монотонных функций 204
5.15. Критерий Коши существования предела функции 210
5.16. Предел и непрерывность композиции функций 212
§ 6. Свойства непрерывных функций на промежутках 216
6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений 216
6.2. Промежуточные значения непрерывных функций 218
6.3. Обратные функции 221
6.4. Равномерная непрерывность. Модуль непрерывности 228
§ 7. Непрерывность элементарных функций 235
7.1. Многочлены и рациональные функции 235
7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции 236
7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции 246
7.4. Непрерывность элементарных функций 248
§ 8. Сравнение функций. Вычисление пределов 248
8.1. Некоторые замечательные пределы 248
8.2. Сравнение функций 253
8.3. Эквивалентные функции 264
8.4. Метод выделения главной части функции и его применение к вычислению пределов 267
§ 9. Производная и дифференциал 271
9.1. Определение производной 271
9.2. Дифференциал функции 274
9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала 280
9.4. Физический смысл производной и дифференциала 284
9.5. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями 288
9.6. Производная обратной функции 291
9.7. Производная и дифференциал сложной функции 294
9.8. Гиперболические функции и их производные 301
§10. Производные и дифференциалы высших порядков 304
10.1. Производные высших порядков 304
10.2. Производные высших порядков суммы и произведения функций 306
10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных
10.4. Дифференциалы высших порядков 311
§11. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций 313
11.1  Теорема Ферма
11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях 316
§12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 327
12.1 Неопределенности вида 0/0
12.2  Неопределенности вида
12.3. Обобщение правила Лопиталя 337
§ 13. Формула Тейлора 339
13.1. Вывод формулы Тейлора 339
13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки 344
13.3. Формулы Тейлора для основных элементарных
13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части) 351
§ 14. Исследование поведения функций 353
14.1. Признак монотонности функции 353
14.2. Отыскание наибольших и наименьших значений функции 356
14.3. Выпуклость и точки перегиба 365
14.5. Построение графиков функций 377
§ 15. Векторная функция 387
15.1. Понятие предела и непрерывности для векторной функции 387
15.2. Производная и дифференциал векторной функции 391
§ 16. Длина кривой 397
16.3. Ориентация кривой. Дуга кривой. Сумма кривых. Неявное задание кривых 408
16.4. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной векторной функции 411
16.7. Физический смысл производной векторной функции 425
§17. Кривизна и кручение кривой 426
17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие скорости 426
17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление 430
17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость 434
17.4. Центр кривизны и эволюта кривой 436
17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоской кривой 437
17.6. Эвольвента 444
17.7. Кручение пространственной кривой 447
17.9. Формулы для вычисления кручения 451
Глава 2
Интегральное исчисление функций одной переменной
§18. Определения и свойства неопределенного интеграла 453

18.1. Первообразная и неопределенный интеграл 453
18.2. Основные свойства интеграла 456
18.3. Табличные интегралы 458
18.4. Интегрирование подстановкой (замена переменной) 461
18.5. Интегрирование по частям 464
18.6*. Обобщение понятия первообразной 467
§ 19. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах 473
19.1. Комплексные числа 473
19.2*. Формальная теория комплексных чисел 481
19.3. Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел 482
19.4. Разложение многочленов на множители 486
19.5*. Наибольший общий делитель многочленов 490
19.6. Разложение правильных рациональных дробей на элементарные 495
§ 20. Интегрирование рациональных дробей 503
20.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей 503
20.2. Общий случай 506
20.3*. Метод Остроградского 508
§21. Интегрирование некоторых иррациональностей 514
21.1. Предварительные замечания 514
21.2. Интегралы вида 515
21.3. Интегралы вида. Подстановки Эйлера 518
21.4. Интегралы от дифференциальных биномов 522
21.5. Интегралы вида частного многочлена и корня из квадратного трехчлена
§ 22. Интегрирование некоторых трансцендентных функций 526
22.1. Интегралы виды JR(sin x,cosx)dx 526
22.2. Интегралы вида Jsinm x cos x dx 528
22.3. Интегралы вида Jsin ax cos |3x dx 530
22.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям 530
22.5. Интегралы вида J.R(sh x, ch x) dx 532
22.6. Замечания об интегралах, не выражающихся через элементарные функции 532
§ 23. Определенный интеграл 533
23.1. Определение интеграла Римана 533
23.2*. Критерий Коши существования интеграла 539
23.3. Ограниченность интегрируемой функции 541
23.4. Верхние и нижние суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу 543
23.5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости 547
23.6. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций 548
23.7*. Критерии интегрируемости Дарбу и Римана 551
23.8*. Колебания функций 556
23.9*. Критерий интегрируемости Дюбуа-Реймона 563
23.10*. Критерий интегрируемости Лебега 566
§ 24. Свойства интегрируемых функций 570
24.1. Свойства определенного интеграла 570
24.2. Первая теорема о среднем значении для определенного интеграла 583
§25. Определенный интеграл с переменными пределами
25.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу
25.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу интегрирования. Существование первообразной у непрерывной функции 588
25.3. Формула Ньютона—Лейбница 591
25.4. Существование обобщенной первообразной. Формула Ньютона—Лейбница для обобщенной первообразной 592
§26. Формулы замены переменной в интеграле и интегрирования по частям 596
26.1. Замена переменной 596
26.2. Интегрирование по частям 600
26.3*. Вторая теорема о среднем значении для определенного
26.4. Интегралы от векторных функций 606
§27. Мера плоских открытых множеств 608
27.1. Определение меры (площади) открытого множества 608
27.2. Свойства меры открытых множеств 612
§28. Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла 618
28.1. Вычисление площадей 618
28.2*. Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского 625
28.3. Объем тела вращения 630
28.4. Вычисление длины кривой 632
28.5. Площадь поверхности вращения 637
28.6. Работа силы 640
28.7. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести кривой 641
§ 29. Несобственные интегралы 644
29.1. Определение несобственных интегралов 644
29.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов 652
29.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 657
29.4. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов 665
29.5. Абсолютно сходящиеся интегралы 666
29.6. Исследование сходимости интегралов 671
29.7. Асимптотическое поведение интегралов с переменными пределами интегрирования 677
Предметно-именной указатель 685
Указатель основных обозначений 695

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа Том 2

Оглавление
Предисловие 3
Глава 3
Ряды
§ 30. Числовые ряды  5
30.1. Определение ряда и его сходимость 5
30.2. Свойства сходящихся рядов 9
30.3. Критерий Коши сходимости ряда 11
30.4. Ряды с неотрицательными членами 13
30.5. Признак сравнения для рядов с неотрицательными членами. Метод выделения главной части члена ряда 16
30.6. Признаки Даламбера и Коши для рядов с неотрицательными членами 20
30.7. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами 23
30.8*. Неравенства Гёльдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм 25
30.9. Знакопеременные ряды 27
30.10. Абсолютно сходящиеся ряды. Применение абсолютно сходящихся рядов к исследованию сходимости
30.11. Признаки Даламбера и Коши для произвольных числовых рядов 38
30.12. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Теорема Римана 39
30.13. Преобразование Абеля. Признаки сходимости Дирихле и Абеля 43
30.14*. Асимптотическое поведение остатков сходящихся рядов и частичных сумм расходящихся рядов 48
30.15. О суммируемости рядов методом средних арифметических 52
§ 31. Бесконечные произведения 53
31.1. Основные определения. Простейшие свойства бесконечных произведений 53
31.2. Критерий Коши сходимости бесконечных произведений 57
31.3. Бесконечные произведения с действительными
31.4. Абсолютно сходящиеся бесконечные произведения 62
31.5*. Дзета-функция Римана и простые числа 65
§ 32. Функциональные последовательности и ряды 67
32.1. Сходимость функциональных последовательностей
32.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей 71
32.3. Равномерно сходящиеся функциональные ряды 79
32.4. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей 90
§ 33. Степенные ряды 100
33.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда 100
33.2*. Формула Коши—Адамара для радиуса сходимости
33.3. Аналитические функции 110
33.4. Аналитические функции в действительной области 112
33.5. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора 116
33.6. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора 121
33.7. Методы разложения функций в степенные ряды 131
33.8. Формула Стерлинга 138
33.9*. Формула и ряд Тейлора для векторных функций 141
33.10*. Асимптотические степенные ряды 143
33.11*. Свойства асимптотических степенных рядов 149
§ 34. Кратные ряды  153
34.1. Кратные числовые ряды 153
34.2. Кратные функциональные ряды 162
Глава 4
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
§ 35. Многомерные пространства 165
35.1. Окрестности точек. Пределы последовательностей
35.2. Различные типы множеств 178
35.4. Многомерные векторные пространства 203
§ 36. Предел и непрерывность функций многих переменных
36.1. Функции многих переменных 210
36.2. Отображения. Предел отображений 212
36.3. Непрерывность отображений в точке 218
36.4. Свойства пределов отображений 220
36.5. Повторные пределы 221
36.6. Предел и непрерывность композиции отображений 223
36.7. Непрерывные отображения компактов 226
36.8. Равномерная непрерывность 229
36.9. Непрерывные отображения линейно-связных множеств 233
36.10. Свойства непрерывных отображений 235
§ 37. Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных 240
37.1. Частные производные и частные дифференциалы 240
37.2. Дифференцируемость функций в точке 244
37.3. Дифференцирование сложной функции 253
37.4. Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных. Правила вычисления дифференциалов 256
37.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала 262
37.6. Градиент функции 265
37.7. Производная по направлению 265
37.8. Пример исследования функций двух переменных 271
§ 38. Частные производные и дифференциалы высших порядков 273
38.1. Частные производные высших порядков 273
38.2. Дифференциалы высших порядков 277
§ 39. Формула Тейлора и ряд Тейлора для функций многих переменных 281
39.1. Формула Тейлора для функций многих переменных 281
39.2. Формула конечных приращений для функций многих переменных 291
39.3. Оценка остаточного члена формулы Тейлора во всей области определения функции 292
39.4. Равномерная сходимость по параметру семейства функций 295
39.5. Замечания о рядах Тейлора для функций многих переменных 298
§ 40. Экстремумы функций многих переменных 299
40.1. Необходимые условия экстремума 299
40.2. Достаточные условия строгого экстремума 302
40.3. Замечания об экстремумах на множествах 308
§ 41. Неявные функции. Отображения 309
41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением 309
41.2. Произведения множеств 316
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений 317
41.4. Векторные отображения 328
41.5. Линейные отображения 329
41.6. Дифференцируемые отображения 335
41.7. Отображения с неравным нулю якобианом. Принцип сохранения области 344
41.8. Неявные функции, определяемые уравнением, в котором нарушаются условия единственности. Особые точки плоских кривых 349
41.9. Замена переменных 360
§ 42. Зависимость функций 363
42.1. Понятие зависимости функций. Необходимое условие зависимости функций 363
42.2. Достаточные условия зависимости функций 365
§ 43. Условный экстремум 371
43.1. Понятие условного экстремума 371
43.2. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума 376
43.3*. Геометрическая интерпретация метода Лагранжа 379
43.4*. Стационарные точки функции Лагранжа 381
43.5*. Достаточные условия для точек условного экстремума 388
Глава 5
Интегральное исчисление функций многих переменных
§ 44. Кратные интегралы 393
44.1. Понятие объема в n-мерном пространстве (мера Жордана). Измеримые множества 393
44.2. Множества меры нуль 414
44.3. Определение кратного интеграла 417
44.4. Существование интеграла 424
44.5*. Об интегрируемости разрывных функций 431
44.6. Свойства кратного интеграла 434
44.7*. Критерии интегрируемости функций Римана и Дарбу
§ 45. Сведение кратного интеграла к повторному 451
45.1. Сведение двойного интеграла к повторному 451
45.2. Обобщение на и-мерный случай 459
45.3*. Обобщенное интегральное неравенство Минковского 462
45.4. Объем и-мерного шара 464
45.5. Независимость меры от выбора системы координат 465
45.6*. Формулы Ньютона—Лейбница и Тейлора 466
§ 46. Замена переменных в кратных интегралах 469
46.1. Линейные отображения измеримых множеств 469
46.2. Метрические свойства дифференцируемых
46.3. Формула замены переменных в кратном интеграле 482
46.4. Геометрический смысл абсолютной величины якобиана отображения 490
46.5. Криволинейные координаты 491
§ 47. Криволинейные интегралы 494
47.1. Криволинейные интегралы первого рода 494
47.2. Криволинейные интегралы второго рода 498
47.3. Расширение класса допустимых преобразований
47.4. Криволинейные интегралы по кусочно-гладким
47.5. Определение ряда и его сходимость.

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа Том 3

Том 3. ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава
Ряды Фурье. Интеграл Фурье

§ 55. Тригонометрические ряды Фурье
55.1. Определение ряда Фурье. Постановка основных
55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулю
55.3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации
55.4. Сходимость рядов Фурье в точке
55.5*. Сходимость рядов Фурье для функций, удовлетворяющих условию Гёльдера
55.6. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических
55.7. Приближение непрерывных функций многочленами
55.8. Полнота тригонометрической системы и системы неотрицательных целых степеней х в пространстве непрерывных функций
55.9. Минимальное свойство сумм Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля
55.10. Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование рядов Фурье
55.11. Почленное интегрирование рядов Фурье
55.12. Ряды Фурье в случае произвольного интервала
55.13. Комплексная запись рядов Фурье
55.14. Разложение логарифма в степенной ряд в комплексной области
55.15. Суммирование тригонометрических рядов
§ 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
56.1. Представление функций в виде интеграла Фурье
56.2. Различные виды записи формулы Фурье
56.3. Главное значение интеграла
56.4. Комплексная запись интеграла Фурье
56.5. Преобразование Фурье
56.6. Интегралы Лапласа
56.7. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций
56.8. Преобразование Фурье производных
56.9. Свертка и преобразование Фурье
56.10. Производная преобразования Фурье функции
Глава 8
Функциональные пространства

§ 57. Метрические пространства
57.1. Определения и примеры
57.2. Полные пространства
57.3. Отображения метрических пространств
57.4. Принцип сжимающих отображений
57.5. Пополнение метрических пространств
57.6. Компакты
57.7. Непрерывные отображения множеств
57.8. Связные множества
57.9. Критерий Арцела компактности систем функций
§ 58. Линейные нормированные и полунормированные
58.1. Линейные пространства
58.2. Норма и полунорма
58.3. Примеры нормированных и полунормированных
58.4. Свойства полунормированных пространств
58.5. Свойства нормированных пространств
58.6. Линейные операторы
58.7. Билинейные отображения нормированных
58.8. Дифференцируемые отображения линейных нормированных пространств
58.9. Формула конечных приращений
58.10. Производные высших порядков
58.11. Формула Тейлора
§ 59. Линейные пространства со скалярным произведением
59.1. Скалярное и почти скалярное произведения
59.2. Примеры линейных пространств со скалярным произведением
59.3. Свойства линейных пространств со скалярным произведением. Гильбертовы пространства
59.4. Фактор-пространства
59.5. Пространство L2
59.6. Пространства Lp
§ 60. Ортонормированные базисы и разложения по ним
60.1. Ортонормированные системы
60.2. Ортогонализация
60.3. Полные системы. Полнота тригонометрической системы и системы полиномов Лежандра
60.5. Существование базиса в сепарабельных гильбертовых пространствах. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств
60.6. Разложение функций с интегрируемым квадратом в ряд Фурье
60.7. Ортогональные разложения гильбертовых пространств в прямую сумму
60.8. Функционалы гильбертовых пространств
60.9*. Преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций. Теорема Планшереля
§ 61. Обобщенные функции
61.1. Общие соображения
61.2. Линейные пространства со сходимостью. Функционалы. Сопряженные пространства
61.3. Определение обобщенных функций. Пространства ВиД'
61.4. Дифференцирование обобщенных функций
61.5. Пространство основных функций S и пространство обобщенных функций S'
61.6. Преобразование Фурье в пространстве S
61.7. Преобразование Фурье обобщенных функций
Дополнение
§ 62. Некоторые вопросы приближенных вычислений
62.1. Применение формулы Тейлора для приближенного вычисления значений функций и интегралов
62.2. Решение уравнений
62.3. Интерполяция функций
62.4. Квадратурные формулы
62.5. Погрешность квадратурных формул
62.6. Приближенное вычисление производных
§ 63. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов
§ 64. Предел по фильтру
64.1. Топологические пространства
64.2. Фильтры
64.4. Предел отображения по фильтру
Предметно-именной указатель
Указатель основных обозначений

Зорич В.А. , Математический анализ (Часть 1)

Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения 1
Глава II. Действительные (вещественные) числа 33
Глава III. Предел 76
Глава IV. Непрерывные функции 148
Глава V. Дифференциальное исчисление 170
Глава VI. Интеграл 324
Глава VII. Функции многих переменных, их предел и непрерывность 403
Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 421
Некоторые задачи коллоквиумов 533
Вопросы к экзамену 538
Литература 542
Алфавитный указатель 545

Зорич В.А. , Математический анализ (Часть 2)

Глава IX Непрерывные отображения (общая теория) . 11
Глава X. Дифференциальное исчисление с более общей точки зрения 60
Глава XI. Кратные интегралы 113
Глава XII. Поверхности я дифференциальные формы в Rn 165
Глава ХIII. Криволинейные и поверхностные интегралы 213
Глава XlV. Элементы векторного анализа и теории поля 253
Глава XV. Интегрирование дифференциальных форм на многообразиях 305
Глава XVI. Равномерная сходимость и основные операции анализа над рядами и семействами функций 355
Глава XVII. Интегралы, зависящие от параметра 400
Глава XVIII. Рид Фурье и преобразование Фурье 488
Глава XIX Асимптотические разложения 584
Задачи и упражнения 624
Литература 630
Указатель основных обозначений 632
Алфавитный указатель 635

Архипов Г.И., Садовничий В.Н., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.
ЧАСТЬ I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Глава I. ВВЕДЕНИЕ
Лекция 1
§ 1. Множества. Операции над множествами. Декартово произведение. Отображения. Функции.
Лекция 2
§ 2. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума.
Лекция 3
§ 3. Вещественные числа
Лекция 4.
§ 4. Полнота множества вещественных чисел.
§ 5. Леммы об отделимости множеств, о системе вложенных отрезков и последовательности стягивающихся отрезков
Глава II. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Лекция 5
§ 1. Метод математической индукции. Бином Ньютона и неравенство Бернулли.
§ 2. Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
Лекция 6
§ 3. Предел последовательности
§ 4. Предельный переход в неравенствах.
Лекция 7
§ 5. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число "е" и постоянная Эйлера.
Лекция 8
§ 6. Теорема Больцано - Вейерштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последовательности
§ 7. Критерий Коши для сходимости последовательности
Глава III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.
Лекция 9
§ 1. Понятие предела числовой функции.
§ 2. База множеств. Предел функции по базе.
Лекция 10
§ 3. Свойство монотонности предела функции.
§ 4. Критерий Коши существования предела функции
по базе
Лекция 11
§ 5. Эквивалентность определений сходимости по Коши и по Гейне.
§ 6. Теоремы о пределе сложной функции
§ 7. Порядок бесконечно малой функции
Глава IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Лекция 12
§ 1. Свойства функций, непрерывных в точке
§ 2. Непрерывность элементарных функций
Лекция 13
§ 3. Замечательные пределы.
§ 4. Непрерывность функции на множестве
Лекция 14
§ 5. Общие свойства функций, непрерывных на отрезке
Лекция 15
§ 6. Понятие равномерной непрерывности
§ 7. Свойства замкнутых и открытых множеств. Компакт. Функции, непрерывные на компакте
Глава V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Лекция 16
§ 1. Приращение функции. Дифференциал и производная функции.
Лекция 17
§ 2. Дифференцирование сложной функции
§ 3. Правила дифференцирования
Лекция 18
§4. Производные и дифференциалы высших порядков
§ 5. Возрастание и убывание функции в точке
Лекция 19
§ 6. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа.
Лекция 20
§ 7. Следствия из теоремы Лагранжа.
§ 8. Некоторые неравенства
§9. Производная функции, заданной параметрически.
Лекция 21
§ 10. Раскрытие неопределенностей
Лекция 22
§11. Локальная формула Тейлора
§ 12. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме
Лекция 23
§ 13. Применение формулы Тейлора к некоторым функциям
Лекция 24
§ 14. Исследование функций с помощью производных.
Экстремальные точки. Выпуклость
Лекция 25
§ 15. Точки перегиба
Лекция 26
§ 16. Интерполирование.
Лекция 27
§ 17.Метрд хорд и метод касательных (метод Ньютона).
Быстрые вычисления.
Глава VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Лекция 28
§ 1. Точная первообразная. Интегрируемые функции.
Лекция 29.
§ 2. Свойства неопределенного интеграла
Лекция 30
Дополнение. Обобщение понятия предела по Гейне на функции, сходящиеся по базе множеств.

ЧАСТЬ II. ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава VII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Лекция 1
§ 1. Введение
§ 2. Определение интеграла Римана.
Лекция 2
§ 3. Критерий интегрируемости функции по Риману
Лекция 3
§ 4. Эквивалентность трех условий интегрируемости
функции по Риману
§ 5. Специальный критерий интегрируемости функции
по Риману
§ 6. Метод интегральных сумм
Лекция 4
§ 7. Свойства интеграла Римана как предела по базе
§ 8. Классы функций, интегрируемых по Риману
Лекция 5
§ 9. Свойства определенного интеграла
§ 10. Аддитивность интеграла
Глава VIII. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА РИМАНА
Лекция 6
§ 1. Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела
интегрирования. Производная интеграла.
§ 2. Теорема Ньютона - Лейбница. Формулы суммирования Эйлера и Абеля
Лекция 7
§ 3. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.
§ 4. Первая и вторая теоремы о среднем значении
Лекция 8
§ 5. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
§ 6. Неравенства, содержащие интегралы.
Лекция 9
§ 7. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
§ 8. Доказательство критерия Лебега
Глава IX. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Лекция 10
§ 1. Определение несобственных интегралов первого и второго рода
§ 2. Критерий Коши и достаточные условия сходимости несобственных интегралов
§ 3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле.
Лекция 11
§ 4. Несобственные интегралы второго рода
§ 5. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в несобственном интеграле
Глава X. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ
Лекция 12
§ 1. Кривые в многомерном пространстве
§ 2. Теорема о длине дуги кривой
Глава XI. МЕРА ЖОРДАНА
Лекция 13
§ 1. Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела. Определение меры Жордана
§ 2. Критерий измеримости множества по Жордану
Лекция 14
§ 3. Свойства меры Жордана
§ 4. Измеримость спрямляемой кривой
§ 5. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной
трапеции
Глава XII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА. ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА
Лекция 15
§ 1. Определение и свойства меры Лебега
Лекция 16
§ 2. Интеграл Лебега
Лекция 17
§ 3. Интеграл Стильтьеса
Глава XIII. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Лекция 18
§ 1. Определения
Лекция 19
§ 2. Хаусдорфовость метрического пространства в естественной топологии.
§ 3. Внутренние, внешние и граничные точки множества в метрическом пространстве.
§ 4. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих отображений
Лекция 20
§ 5. Непрерывные отображения метрических
пространств
§ 6. Понятие компакта. Компакты в R^n и полнота пространства R^n. Свойства непрерывных функций на компакте.
§ 7. Связные множества и непрерывность.
Глава XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Лекция 21
§ 1. Непрерывные функции в R^n
§ 2. Дифференцируемые функции в R^n
Лекция 22
§ 3. Дифференцирование сложной функции.
§ 4. Производная по направлению. Градиент
§ 5. Геометрический смысл дифференциала
Лекция 23
§ 6. Частные производные высших порядков
§ 7. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
Лекция 24
§ 8. Приложение формулы Тейлора. Локальный экстремум функции многих переменных
§ 9. Неявные функции
Лекция 25
§ 10. Система неявных функций.
§ 11. Условный экстремум функции многих переменных.
§ 12. Дифференцируемые отображения. Матрица Якоби.

ЧАСТЬ III. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Глава XV. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Лекция 1
§ 1. Основные свойства сходящихся рядов. Критерий Коши
Лекция 2
§ 2. Ряды с неотрицательными членами.
Лекция 3
§ 3. Основные признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами.
Лекция 4
§ 4. Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница
§ 5. Признаки Абеля и Дирихле
Лекция 5
§ 6. Перестановки членов ряда
Лекция 6
§ 7. Арифметические операции над сходящимися рядами
Лекция 7
§ 8. Двойные и повторные ряды
Глава XVI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
Лекция 8
§ 1. Сходимость функционального ряда
§ 2. Равномерная сходимость
Лекция 9
§ 3. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности
§ 4. Признаки равномерной сходимости
Лекция 10
§ 5. Теорема Дини
§ 6. Почленное дифференцирование и интегрирование
ряда :.
Лекция 11
§ 7. Двойные и повторные пределы по базе множеств
Лекция 12
§ 8. Степенные ряды
Лекция 13
§ 9. Бесконечные произведения
Лекция 14
§ 10. Бесконечные определители
§ 11. Равностепенная непрерывность и теорема Арцела
Глава XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Лекция 15
§ 1. Собственные параметрические интегралы и их непрерывность
§ 2. Дифференцирование и интегрирование собственных параметрических интегралов
Лекция 16
§ 3. Теорема Лагранжа
Лекция 17
§ 4. Равномерная сходимость по Гейне
§ 5. Эквивалентность двух определений равномерной сходимости
Лекция 18
§ 6. Равномерная сходимость несобственных параметрических интегралов
Лекция 19
§ 7. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру несобственных интегралов
Лекция 20
§ 8. Несобственные интегралы второго рода
§ 9. Применение теории параметрических интегралов
Лекция 21
§ 10. Интегралы Эйлера первого и второго рода
Лекция 22
§11. Формула Стирлинга
Глава XVIII. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
Лекция 23
§ 1. Представление дробной доли вещественного числа тригонометрическим рядом. Формула суммирования
Пуассона. Суммы Гаусса
Лекция 24
§ 2. Неравенство Бесселя. Замкнутость и полнота ортонормированной системы функций.
Лекция 25
§ 3. Замкнутость тригонометрической системы функций
§ 4. Простейшие свойства тригонометрических рядов Фурье
Лекция 26
§ 5. Интегральное представление для частичной суммы
ряда Фурье. Принцип локализации Римана
§ 6. Признаки поточечной сходимости рядов Фурье
Лекция 27
§ 7. Поведение коэффициентов Фурье
§ 8. Разложение котангенса на простейшие дроби и представление синуса в виде бесконечного произведения
§9. Задача Кеплера и ряды Бесселя
Лекция 28
§ 10. Ядро Фейера и аппроксимационная теорема Вейерштрасса
§ 11. Интеграл Дирихле и разложение на простейшие дроби
Лекция 29
§ 12. Преобразование Фурье и интеграл Фурье
Лекция 30
§ 13. Метод Лапласа и метод стационарной фазы

ЧАСТЬ IV КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Глава XIX. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Лекция 1
§ 1. Двойной интеграл Римана как предел по базе
§ 2. Суммы Дарбу и их свойства
Лекция 2
§ 3. Критерий Римана интегрируемости функции на прямоугольнике
§ 4. Специальный критерий интегрируемости функции
на прямоугольнике
Лекция 3
§ 5. Измеримость по Жордану цилиндрической криволинейной фигуры
§ 6. Понятие двойного интеграла Римана по ограниченной области, измеримой по Жордану
Лекция 4
§ 7. Основные свойства двойного интеграла
§ 8. Переход от двойного интеграла к повторному
§ 9. Интегрируемость непрерывной функции на измеримом множестве
Лекция 5
§ 10. Многократные интегралы
§ 11. Свойства гладкого отображения на выпуклом множестве
Лекция 6
§ 12. Объем области в криволинейных координатах.
Теорема о замене переменных в кратном интеграле
Лекция 7
§ 13. Критерий Лебега
Лекция 8
§ 14. Несобственные кратные интегралы
Лекция 9
§ 15. Площадь поверхности
§ 16. Площадь m-мерной поверхности в евклидовом пространстве п измерений
Глава XX. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
Лекция 10
§ 1. Криволинейные интегралы
§ 2. Свойства криволинейных интегралов
Лекция 11
§ 3. Криволинейные интегралы второго рода по замкнутому контуру. Формула Грина
Лекция 12
§ 4. Поверхностные интегралы
§ 5. Согласование ориентации поверхности, и ее границы
Лекция 13
§ 6. Формула Стокса
§ 7. Формула Гаусса - Остроградского
Лекция 14
§ 8. Криволинейные интегралы, зависящие только от пределов интегрирования
§ 9. Элементы векторного анализа
Лекция 15
§ 10. Потенциальное и соленоидальное векторные поля
Глава XXI. ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТОКСА
Лекция 16
§ 1. Понятие ориентированной многомерной поверхности
§ 2. Согласование ориентации поверхности и ее границы в общем случае
§ 3. Дифференциальные формы
§ 4. Замена переменных в дифференциальной форме
Лекция 17
§ 5. Интеграл от дифференциальной формы
§ 6. Операция внешнего дифференцирования
§ 7. Доказательство общей формулы Стокса
Лекция 18
Дополнение. Равномерное распределение значений числовых последовательностей на отрезке
§ 1. Понятие равномерного распределения. Лемма обоценке коэффициентов Фурье
§ 2. Критерий Г.Вейля
Примерные вопросы и задачи к коллоквиумам и экзаменам
Литература.

Кострикин А.И., Сборник задач по алгебре

Задачник составлен применительно к учебнику А.И. Кострикина «Введение в алгебру» (Т. 1. «Основы алгебры», Т. 2. «Линейная алгебра», Т. 3. «Основные структуры алгебры») и учебному пособию А.И. Кострикина, Ю.И. Манина «Линейная алгебра и геометрия».
Цель книги — обеспечить семинарские занятия сразу по двум обязательным курсам: «Высшая алгебра» и «Линейная алгебра и геометрия», а также предоставить студентам материал для самостоятельной работы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ ……………………………………….7
ЧАСТЬ I ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ
Глава I. Множества и отображения ………………………………………………….11
§ 1. Операции над подмножествами. Подсчет числа элементов … 11
§ 2. Число отображений и подмножеств, биномиальные коэффициенты……………………12
§ 3. Перестановки…………………………………………………………….14
§ 4. Рекуррентные соотношения. Математическая индукция ……….19
§ 5. Суммирование …………………………………………………………21
Глава II. Арифметические пространства и линейные уравнения ……………………23
§ 6. Арифметические пространства …………………………………..23
§ 7. Ранг матрицы …………………………………………27
§ 8. Системы линейных уравнений……………………………………………..30
Глава 3. Определители ……………………………………………….39
§ 9. Определители второго и третьего порядков ………………………………39
§ 10. Выражение определителя. Индуктивное определение …………….40
§ 11. Основные свойства определителя ……………………………………..41
§ 12. Разложение определителя по строке и столбцу ……………………….43
§ 13. Определители и элементарные преобразования ……………………….45
§ 14. Вычисление определителей специального вида…………………………48
§ 15. Определитель произведения матриц ……………………………………50
§ 16. Дополнительные задачи ……………………………………………..51
Глава IV. Матрицы ……………………………………………………..56
§ 17. Действия над матрицами…………………………………………….56
§ 18. Матричные уравнения. Обратная матрица ………………………………60
§ 19. Матрицы специального вида …………………………………………65
Глава V. Комплексные числа…………………………………………….68
§ 20. Комплексные числа в алгебраической форме …………………………..68
§ 21. Комплексные числа в тригонометрической форме ………………….70
§ 22. Корни из комплексных чисел и многочлены деления круга…………………72
§ 23. Вычисления с помощью комплексных чисел………………………………75
§ 24. Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости …………..77
Глава VI. Многочлены …………………………………………………82
§ 25. Деление с остатком и алгоритм Евклида ………………………………82
§ 26. Простые и кратные корни над полями нулевой характеристики ………………………………………………………………….83
§ 27. Разложение на неприводимые множители над R и С …………….86
§ 28. Многочлены над полем рациональных чисел и над конечными полями …………………………………………………………………..87
§ 29. Рациональные дроби …………………………………………..91
§ 30. Интерполяция ………………………………………………..92
§ 31. Симметрические многочлены и формулы Виета……………………..93
§ 32. Результант и дискриминант …………………………………….99
§ 33. Распределение корней ……………………………………….101
ЧАСТЬ II ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Глава VII. Векторные пространства ………………………………………….104
§ 34. Понятие векторного пространства. Базисы ………………………………104
§ 35. Подпространства ……………………………………………………107
§ 36. Линейные функции и отображения…………………………………….114
Глава VIII. Билинейные и квадратичные функции ………………….117
§ 37. Общие билинейные и полуторалинейные функции ………………….117
§ 38. Симметрические билинейные, эрмитовы и квадратичные функции …………….126
Глава IX. Линейные операторы ……………………………. 133
§ 39. Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица линейного оператора…………………………………….. 133
§ 40. Собственные векторы, инвариантные подпространства,
корневые подпространства …………………………….. 137
§ 41. Жорданова форма и её приложения. Минимальный многочлен 143
§ 42. Нормированные пространства. Неотрицательные матрицы . 150
Глава X. Метрические векторные пространства………….. 156
§ 43. Геометрия метрических пространств …………………… 156
§ 44. Сопряжённые и нормальные операторы …………………. 164
§ 45. Самосопряжённые операторы. Приведение квадратичных
функций к главным осям ………………………………. 169
§ 46. Ортогональные и унитарные операторы. Полярное разложение …………. 172
Глава XI. Тензоры …………………………………………..178
§ 47. Основные понятия …………………………………….. 178
§ 48. Симметрические и кососимметрические тензоры ……………….. 181
Глава ХII. Аффинная, евклидова и проективная геометрия……………..184
§ 49. Аффинные пространства ………………………………. 184
§ 50. Выпуклые множества………………………………….. 191
§ 51. Евклидовы пространства………………………………. 196
§ 52. Гиперповерхности второго порядка …………………….. 201
§ 53. Проективные пространства ……………………………. 208
ЧАСТЬ III ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Глава XIII. Группы …………………………………………213
§ 54. Алгебраические операции. Полугруппы ……………………213
§ 55. Понятие группы. Изоморфизм групп……………………….214
§ 56. Подгруппы, порядок элемента группы. Смежные классы …. 221
§ 57. Действие группы на множестве. Отношение сопряжённости 227
§ 58. Гомоморфизмы и нормальные подгруппы. Факторгруппы,
центр ………………………. 233
§ 59. Силовские подгруппы. Группы малых порядков …………. 238
§ 60. Прямые произведения и прямые суммы. Абелевы группы … 241
§ 61. Порождающие элементы и определяющие соотношения…… 248
§ 62. Разрешимые группы…………………………………… 252
Глава XIV. Кольца …………………………………………. 256
§ 63. Кольца и алгебры …………………………………….. 256
§ 64. Идеалы, гомоморфизмы, факторкольца …………………. 263
§ 65. Специальные классы алгебр ……………………………. 275
§ 66. Поля …………………………………………………. 281
§ 67. Расширения полей. Теория Галуа……………………….. 286
§ 68. Конечные поля………………………………………… 299
Глава XV. Элементы теории представлений ………………. 302
§ 69. Представления групп. Основные понятия ……………….. 302
§ 70. Представления конечных групп ………………………… 308
§ 71. Групповые алгебры и модули над ними …………………. 313
§ 72. Характеры представлений……………………………… 319
§ 73. Первоначальные сведения о представлениях непрерывных групп …….325
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ………………………………………. 329
Приложение. Теоретические сведения ……………………………443
§ I. Аффинная и евклидова геометрия …………………………..443
§ II. Гиперповерхности второго порядка ………………………..446
§ III. Проективные пространства ………………………………448
§ IV. Тензоры ……………………………………………..449
§ V. Элементы теории представлений ……………………………450
§ VI. Список определений ……………………………………453
§ VII. Список обозначений ………………………………….460

Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 1, Основы алгебры

Рассмотрены системы линейных уравнений, элементарная теория матриц, теория определителей, простейшие свойства групп, колец и полей, комплексные числа и корни многочленов. Помещено большое число упражнений различной степени трудности. Специальный раздел посвящен обсуждению некоторых нерешенных задач о многочленах.
Для студентов младших курсов университетов и ВУЗов с повышенными требованиями по математике.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
СОВЕТЫ ЧИТАТЕЛЮ 10
ГЛАВА 1 ИСТОКИ АЛГЕБРЫ
§1. Алгебра вкратце 12
§2. Некоторые модельные задачи 15
1. Задача о разрешимости уравнений в радикалах (15).
2. Задача о состояниях многоатомной молекулы (17).
3. Задача о кодировании сообщения (18).
4. Задача о нагретой пластинке (18).
§3. Системы линейных уравнений. Первые шаги 19
1. Терминология (20).
2. Эквивалентность линейных систем (21).
3. Приведение к ступенчатому виду (23).
4. Исследование системы линейных уравнений (24).
5. Отдельные замечания и примеры (26).
§4. Определители небольших порядков 29
Упражнения (33).
§5. Множества и отображения 33
1. Множества (33).
2. Отображения (35).
Упражнения (40).
§6. Отношения эквивалентности. Факторизация отображений 41
1. Бинарные отношения (41).
2. Отношение эквивалентности (41).
3. Факторизация отображений (42).
4. Упорядоченные множества (44). Упражнения (45).
§7. Принцип математической индукции 46
Упражнения (50).
§8. Перестановки 50
1. Стандартная запись перестановки (50).
2. Цикловая структура перестановки (52).
3. Знак перестановки(56).
4. Действие Sn на функциях (58).
Упражнения (60).
§9. Арифметика целых чисел 61
1. Основная теорема арифметики (61).
2. НОД и НОК в Z (63).
3. Алгоритм деления в Z (63).
Упражнения (64).
ГЛАВА 2 МАТРИЦЫ
§1. Векторные пространства строк и столбцов 65
1. Мотивировка (65).
2. Основные определения (66).
3. Линейные комбинации. Линейная оболочка (67)
4. Линейная зависимость (68).
5. Базис. Размерность (69).
Упражнения (72).
§2. Ранг матрицы 72
1. Возвращение к уравнениям (72).
2. Ранг матрицы (74).
3. Критерий совместности (76).
Упражнения (77).
§3. Линейные отображения. Действия с матрицами 78
1. Матрицы и отображения (78).
2. Произведение матриц (81).
3. Транспонирование матриц (83).
4. Ранг произведения матриц (84).
5. Квадратные матрицы (86).
6. Классы эквивалентных матриц (91).
7. Вычисление обратной матрицы (93).
8. Пространство решений (96).
Упражнения (98).
ГЛАВА 3 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§1. Определители: построение и основные свойства 102
1. Геометрическая мотивировка (102).
2. Комбинаторно-аналитический подход (104).
3. Основные свойства определителей (105).
Упражнения (112).
§2. Дальнейшие свойства определителей 113
1. Разложение определителя по элементам столбца или строки (113).
2. Определители специальных матриц (116).
Упражнения (119).
§3. Применения определителей 121
1. Критерий невырожденности матрицы (121).
2. Формулы Крамера (123).
3. Метод окаймляющих миноров (125).
Упражнения (128).
§4. К построению теории определителей 130
1. Первое аксиоматическое построение (130).
2. Второе аксиоматическое построение (131).
3. Построение методом полной индукции (131).
4. Характеризация мультипликативными свойствами (131).
Упражнения (133).
ГЛАВА 4 ГРУППЫ. КОЛЬЦА. ПОЛЯ
§1. Множества с алгебраическими операциями 134
1. Бинарные операции (134).
2. Полугруппы и моноиды (135).
3. Обобщённая ассоциативность; степени (136).
4. Обратимые элементы (138).
Упражнения (139).
§2. Группы 139
1. Определение и примеры (139).
2. Циклические группы (142).
3. Изоморфизмы (143).
4. Гомоморфизмы (147).
5. Словарик. Примеры (148).
Упражнения (149).
§3. Кольца и поля 151
1. Определение и общие свойства колец (151).
2. Сравнения. Кольцо классов вычетов (155).
3. Гомоморфизмы колец (156).
4. Типы колец. Поле (157).
5. Характеристика поля (161).
6. Замечание о линейных системах (163).
Упражнения (165).
ГЛАВА 5 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ
§1. Поле комплексных чисел 167
1. Вспомогательная конструкция (167).
2. Плоскость комплексных чисел (168).
3. Геометрическое истолкование действий с комплексными числами (169).
4. Возведение в степень и извлечение корня (173).
5. Теорема единственности (175).
6. Элементарная геометрия комплексных чисел (176).
Упражнения (179).
§2. Кольцо многочленов 180
1. Многочлены от одной переменной (181).
2. Многочлены от многих переменных (185).
3. Алгоритм деления с остатком (187).
Упражнения (188).
§3. Разложение в кольце многочленов 190
1. Элементарные свойства делимости (190).
2. НОД и НОК в кольцах (192).
3. Факториальность евклидовых колец (194).
4. Неприводимые многочлены (197).
Упражнения (200).
§4. Поле отношений 201
1. Построение поля отношений целостного кольца (201).
2. Поле рациональных дробей (203).
3. Простейшие дроби (204).
Упражнения (207).
ГЛАВА 6 КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ
§1. Общие свойства корней 208
1. Корни и линейные множители (208).
2. Полиномиальные функции (210).
3. Дифференцирования кольца многочленов (212).
4. Кратные множители (214).
5. Формулы Виета (216).
Упражнения (218).
§2. Симметрические многочлены 220
1. Кольцо симметрических многочленов (220).
2. Основная теорема о симметрических многочленах (221).
3. Метод неопределённых коэффициентов (224).
4. Дискриминант многочлена (226).
5. Результант (228).
Упражнения (231).
§3. Алгебраическая замкнутость поля С 232
1. Формулировка основной теоремы (232).
2. Доказательство основной теоремы (234).
3. Ещё одно доказательство основной теоремы (237).
§4. Многочлены с вещественными коэффициентами 241
1. Разложение на неприводимые множители в R[X] (241).
2. Простейшие дроби над С и R (242).
3. Проблема локализации корней многочлена (244).
4. Вещественные многочлены с вещественными корнями (249).
5. Устойчивые многочлены (251).
6. Зависимость корней многочлена от коэффициентов (252).
7. Вычисление корней многочлена (254).
8. Рациональные корни целочисленных многочленов (255).
Упражнения (257).
ПРИЛОЖЕНИЕ НЕРЕШЁННЫЕ ЗАДАЧИ О МНОГОЧЛЕНАХ
1. Проблема якобиана 259
2. Задача о дискриминанте 261
3. Задача о двух порождающих кольца многочленов 261
4. Задачи о критических точках и критических значениях 262
5. Задача о глобальной сходимости метода Ньютона 263
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 266.

 

Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 2, Линейная алгебра

Наиболее важные разделы линейной алгебры изложены в максимально доступной форме. На первый план выдвигаются простые геометрические понятия, на базе которых идет всестороннее развитие алгебраического аппарата, введенного в части I. Указаны приложения к разным вопросам анализа, теории линейных групп, алгебр Ли, математической экономики, дифференциальных уравнений, геометрии Лобачевского.
Каждый параграф заканчивается упражнениями. Ответы и наброски решений собраны в отдельном разделе. Сформулированы некоторые нерешенные задачи.

Оглавление
Предисловие
ГЛАВА 1 ПРОСТРАНСТВА И ФОРМЫ
§ 1. Абстрактные векторные пространства
§ 2. Размерность и базис
§ 3. Двойственное пространство
§ 4. Билинейные и квадратичные формы
ГЛАВА 2 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 1. Линейные отображения векторных пространств
§ 2. Алгебра линейных операторов
§ 3. Инвариантные подпространства и собственные векторы
§ 4. Жорданова нормальная форма
ГЛАВА 3 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ
§ 1. Евклидовы векторные пространства
§ 2. Эрмитовы векторные пространства
§ 3. Линейные операторы на пространствах со скалярным произведением
§ 4. Комплексификация и овеществление
§ 5. Ортогональные многочлены
ГЛАВА 4 АФФИННЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ТОЧЕЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Аффинные пространства
§ 2. Евклидовы (точечные) пространства
§ 3. Группы и геометрии
§ 4. Пространства с индефинитной метрикой
ГЛАВА 5 КВАДРИКИ
§ 1. Квадратичные функции
§ 2. Квадрики в аффинном и евклидовом пространствах
§ 3. Проективные пространства
§ 4. Квадрики в проективном пространстве
ГЛАВА 6 ТЕНЗОРЫ
§ 1. Начала тензорного исчисления
§ 2. Свёртка, симметризация и альтернирование тензоров
§ 3. Внешняя алгебра
ГЛАВА 7 ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Норма и функции линейного оператора
§ 2. Линейные дифференциальные уравнения
§ 3. Выпуклые многогранники и линейное программирование
§ 4. Неотрицательные матрицы
§ 5. Геометрия Лобачевского
§ 6. Нерешённые задачи
Ответы и указания к упражнениям
Методические замечания
Предметный указатель.

Курош А.Г. Курс высшей алгебры

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к шестому изданию
Введение

Глава первая. Системы линейных уравнений. Определители
§   1. Метод последовательного исключения неизвестных
§   2. Определители второго и третьего порядков
§   3. Перестановки и подстановки
§   4. Определители n-го порядка
§   5. Миноры и их алгебраические дополнения
§   6. Вычисление определителей
§   7. Правило Крамера

Глава вторая. Системы линейных уравнений (общая теория)
§   8. n-мерное векторное пространство
§   9. Линейная зависимость векторов
§ 10. Ранг матрицы
§ 11. Системы линейных уравнений
§ 12. Системы линейных однородных уравнений

Глава третья. Алгебра матриц
§ 13. Умножение матрац
§ 14. Обратная матрица
§ 15. Сложение матриц и умножение матрицы на число
§ 16. Аксиоматическое построение теории определителей

Глава четвертая. Комплексные числа
§ 17. Система комплексных чисел
§ 18. Дальнейшее изучение комплексных чисел
§ 19. Извлечение корня из комплексных чисел

Глава пятая. Многочлены и их корни
§ 20. Операции над многочленами
§ 21. Делители. Наибольший общий делитель
§ 22. Корни многочленов
§ 23. Основная теорема
§ 24. Следствия из основной теоремы
§ 25. Рациональные дроби

Глава шестая. Квадратичные формы
§ 26. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
§ 27. Закон инерции
§ 28. Положительно определенные формы

Глава седьмая. Линейные пространства
§ 29. Определение линейного пространства.  Изоморфизм
§ 30. Конечномерные пространства. Базы
§ 31. Линейные преобразования
§ 32. Линейные подпространства
§ 33. Характеристические корни и собственные значения

Глава восьмая. Евклидовы пространства
§ 34. Определение евклидова пространства. Ортонормированные базы
§ 35. Ортогональные матрицы, ортогональные преобразования
§ 36. Симметрические преобразования
§ 37. Приведение квадратичной формы к главным осям. Пары форм

Глава девятая. Вычисление корней многочленов
§ 38. Уравнения второй, третьей и четвертой степени
§ 39. Границы корней
§ 40. Теорема Штурма
§ 41. Другие теоремы о числе действительных корней
§ 42. Приближенное вычисление корней

Глава десятая. Поля и многочлены
§ 43. Числовые кольца и поля
§ 44. Кольцо
§ 45. Поле
§ 46. Изоморфизм колец (полей). Единственность поля комплексных чисел
§ 47. Линейная  алгебра   и алгебра многочлена над произвольным полем
§ 48. Разложение многочленов на неприводимые множители
§ 49. Теорема существования корня
§ 50. Поле рациональных дробей

Глава одиннадцатая. Многочлены от нескольких неизвестных
§ 51. Кольцо многочленов от нескольких неизвестных
§ 52. Симметрические многочлены
§ 53. Дополнительные замечания о симметрических многочленах
§ 54. Результант. Исключение неизвестного. Дискриминант
§ 55. Второе доказательство основной теоремы   алгебры комплексных чисел

Глава двенадцатая. Многочлены с рациональными коэффициентами
§ 56. Приводимость многочленов над полем рациональных чисел
§ 57. Рациональные корни целочисленных многочленов
§ 58. Алгебраические числа

Глава тринадцатая. Нормальная форма матрицы
§ 59. Эквивалентность матриц
§ 60. Унимодулярные λ-матрицы. Связь  подобия  числовых матриц с эквивалентностью их характеристических матриц
§ 61. Жорданова нормальная форма
§ 62. Минимальный многочлен

Глава четырнадцатая. Группы
§ 63. Определение и примеры групп
§ 64. Подгруппы
§ 65. Нормальные делители, фактор-группы, гомоморфизмы
§ 66. Прямые суммы абелевых групп
§ 67. Конечные абелевы группы

Указатель литературы
Предметный указатель

Винберг Э.Б. Курс алгебры

Книга представляет собой расширенный вариант курса алгебры, читаемого в течение трех семестров на математических факультетах университетов. В нее включены такие дополнительные разделы, как элементы коммутативной алгебры (в связи с аффинной алгебраической геометрией), теории Галуа, теории конечномерных ассоциативных алгебр, и теории групп Ли.

Это позволяет использовать книгу не только как учебник по общему курсу алгебры, но и как пособие для тех, кто желает углубить свои познания в алгебре. Изложение иллюстрируется большим количеством примеров и сопровождается задачами, часто содержащими дополнительный материал.

Для математиков и физиков студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников.

 

Предисловие
Предисловие ко второму изданию
Глава 1. Алгебраические структуры
§ 1. Введение
§ 2. Абелевы группы
§ 3. Кольца и поля
§ 4. Подгруппы, подкольца и подполя
§ 5. Поле комплексных чисел
§ 6. Кольца вычетов
§ 7. Векторные пространства
§ 8. Алгебры
§ 9. Алгебра матриц
Глава 2. Начала линейной алгебры
§ 1. Системы линейных уравнений
§ 2. Базис и размерность векторного пространства
§ 3. Линейные отображения
§ 4. Определители
§ 5. Некоторые приложения определителей
Глава 3. Начала алгебры многочленов
§ 1. Построение и основные свойства алгебры многочленов
§ 2. Общие свойства корней многочленов
§ 3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
§ 4. Корни многочленов с вещественными коэффициентами
§ 5. Теория делимости в евклидовых кольцах
§ 6. Многочлены с рациональными коэффициентами
§ 7. Многочлены от нескольких переменных
§ 8. Симметрические многочлены
§ 9. Кубические уравнения
§ 10. Поле рациональных дробей
Глава 4. Начала теории групп
§ 1. Определение и примеры
§ 2. Группы в геометрии и физике
§ 3. Циклические группы
§ 4. Системы порождающих
§ 5. Разбиение на смежные классы
§ 6. Гомоморфизмы
Глава 5. Векторные пространства
§ 1. Взаимное расположение подпространств
§ 2. Линейные функции
§ 3. Билинейные и квадратичные функции
§ 4. Евклидовы пространства
§ 5. Эрмитовы пространства
Глава 6. Линейные операторы
§ 1. Матрица линейного оператора
§ 2. Собственные векторы
§ 3. Линейные операторы и билинейные функции в евклидовом
пространстве
§ 4. Жорданова форма
§ 5. Функции от линейного оператора
Глава 7. Аффинные и проективные пространства
§ 1. Аффинные пространства
§ 2. Выпуклые множества
§ 3. Аффинные преобразования и движения
§ 4. Квадрики
§ 5. Проективные пространства
Глава 8. Тензорная алгебра
§ 1. Тензорное произведение векторных пространств
§ 2. Тензорная алгебра векторного пространства
§ 3. Симметрическая алгебра
§ 4. Алгебра Грассмана Глава
9. Коммутативные кольца
§ 1. Абелевы группы
§ 2. Идеалы и факгоркольца
§ 3. Модули над кольцами главных идеалов
§ 2. Нётеровы кольца
§ 3. Алгебраические расширения
§ 4. Конечно порожденные алгебры и аффинные алгебраические
многообразия
§ 5. Разложение на простые множители
Глава 10. Группы
§ 1. Прямые и полупрямые произведения
§ 2. Коммутант

Все материалы для подготовки

смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов