Сканави. Планиметрия. Задачи 1 - 50 с ответами и решениями

Сканави М.И.
Задачи по планиметрии с ответами и решениями

Сканави решебник

перейти к содержанию

Группа А. Задачи 1 - 50 (с ответами и решениями)

  1. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найти катеты треугольника. Ответ: 42 см, 56 см Решение

  2. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна m и делит прямой угол в отношении 1:2. Найти стороны треугольника. Ответ:m,m\sqrt{3},2m   Решение

  3. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 1 см. Найти длину гипотенузы. Ответ: 5 см Решение

  4. Определить острые углы прямоугольного треугольника, если медиана, проведенная к его гипотенузе, делит прямой угол в отношении 1:2. Ответ:  60о и 30о Решение

  5. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найти расстояние между точкой пересечения его биссектрис и точкой пересечения медиан. Ответ: 1 см Решение

  6. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18 см. Ответ: 9\sqrt{5}, 8\sqrt{10} Решение

  7. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника. Ответ: 54 Решение

  8. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 м проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислить площади образовавшихся треугольников. Ответ: 8,64 и 15,36 Решение

  9. Площадь прямоугольного треугольника равна 2\sqrt{3} см2. Определить его высоту, проведенную к гипотенузе, если она делит прямой  угол в отношении 1:2. Ответ: \sqrt{3} Решение

  10. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4 см, проведена медиана боковой стороны. Найти основание треугольника, если медиана равна 3 см. Ответ:  \sqrt{10} Решение

  11. Основание равнобедренного треугольника равно 4\sqrt{2} см, а медиана боковой стороны 5 см. Найти длины боковых сторон. Ответ:  6 Решение

  12. Найти длины сторон равнобедренного треугольника ABC с основанием АС, если известно, что длины его высот AN и ВМ равны соответственно n и m. Ответ: 2mn/\sqrt{4m^2-n^2}, 2m^2/\sqrt{4m^2-n^2}  Решение
  13. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найти биссектрису угла при основании треугольника. Ответ: 6  Решение

  14. Вычислить площадь равнобедренного треугольника, если длина высоты, проведенной к боковой стороне, равна 12 см, а длина основания равна 15 см. Ответ: 75 Решение

  15. Найти площадь равнобедренного треугольника, если основание его равно а, а длина высоты, проведенной к основанию, равна длине отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны. Ответ: a^2\sqrt{3}/12 Решение

  16. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна Н и вдвое больше своей проекции на боковую сторону. Найти площадь треугольника. Ответ:  H^2\sqrt{3} Решение

  17. Найти длины сторон АВ и АС треугольника ABC, если ВС = 8 см, а длины высот, проведенных к АС и ВС, равны соответственно 6,4 и 4 см. Ответ: \sqrt{41}, 5  Решение

  18. В треугольнике длины двух сторон составляют 6 и 3 см. Найти длину третьей стороны, если полусумма высот, проведенных к данным сторонам, равна третьей высоте. Ответ: 4 Решение

  19. Длина основания треугольника равна 36 см. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между сторонами треугольника. Ответ: 18\sqrt{2} Решение

  20. На каждой медиане треугольника взята точка, делящая медиану в отношении 3:1, считая от вершины. Во сколько раз площадь треугольника с вершинами в этих трех точках меньше площади исходного треугольника? Ответ: 64  Решение

  21. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на части, площади которых относятся как 2:1. В каком отношении, считая от вершины, она делит боковые стороны? Ответ:   \sqrt{6}+2 или (\sqrt{3}+1):2 Решение

  22. Основание треугольника равно 30 см, а боковые стороны 26 и 28 см. Высота разделена в отношении 2:3 (считая от вершины), и через точку деления проведена прямая, параллельная основанию. Определить площадь полученной при этом трапеции. Ответ: 282,24 Решение

  23. Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Расстояние от точки А до точки касания равно 16 см, а до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32 см. Найти радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 5 см. Ответ: 13 Решение

  24. Из внешней точки проведены к окружности секущая длиной 12 см и касательная, длина которой составляет 2/3 внутреннего отрезка секущей. Определить длину касательной. Ответ: 6 Решение

  25. Хорда окружности равна 10 см. Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной. Определить радиус окружности, если внутренний отрезок секущей равен 12 см. Ответ: 6,25  Решение

  26. Две окружности радиусов = 3 см и r = 1 см касаются внешним образом. Найти расстояния от точки касания окружностей до их общих касательных. Ответ: 0; 1,5 Решение
  27. Из одной точки проведены к окружности две касательные. Длина каждой касательной 12 см, а расстояние между точками касания 14,4 см. Определить радиус окружности. Ответ: 9 Решение
  28. В острый угол, равный 60°, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен r. Найти радиус большей окружности. Ответ: 3r Решение
  29. Через концы дуги окружности, содержащей 120°, проведены касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Доказать, что ее длина равна длине исходной дуги.  Решение
  30. В окружности проведены две хорды АВ=а и АС=b. Длина дуги АС вдвое больше длины дуги АВ. Найти радиус окружности. Ответ: a^2/\sqrt{4a^2-b^2} Решение
  31. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углами 90o и 60o. Найти радиусы окружностей, если расстояние между их центрами равно \sqrt{3}+1. Ответ:  2; \sqrt{2} Решение
  32. В сектор АОВ с радиусом R и углом 90° вписана окружность, касающаяся отрезков ОА, ОB и дуги АВ. Найти радиус окружности. Ответ: R(\sqrt{2}-1)  Решение
  33. Дана точка Р, удаленная на 7 см от центра окружности радиуса 11 см. Через эту точку проведена хорда длиной 18 см. Каковы длины отрезков, на которые делится хорда точкой Р? Ответ: 12; 6  Решение
  34. В окружности радиуса г проведена хорда, равная r/2. Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной. Найти расстояние между касательной и секущей. Ответ: r/8 Решение
  35. В большем из двух концентрических кругов проведена хорда, равная 32 см и касающаяся меньшего круга. Определить длину радиуса каждого из кругов, если ширина образовавшегося кольца равна 8 см. Ответ: 12; 20 Решение
  36. Круг радиуса R разделен двумя концентрическими с ним окружностями на три равновеликие фигуры. Найти радиусы этих окружностей. Ответ:  R/\sqrt{3}; R\sqrt{2/3} Решение
  37. Площадь кругового кольца равна S. Радиус большей окружности равен длине меньшей окружности. Определить радиус последней. Ответ:  \sqrt{S/(\pi (4\pi^2-1))} Решение
  38. Определить площадь кругового кольца, заключенного между двумя концентрическими окружностями, длины которых равны С1 и С212). Ответ: (C_1^2-C_2^2)/(4\pi) Решение
  39. Хорда АВ постоянной длины скользит своими концами по окружности радиуса R. Точка О этой хорды, находящаяся на расстояниях а и b от концов А и В хорды, описывает при полном обороте окружность. Вычислить площадь кольца, заключенного между данной окружностью и окружностью, описанной точкой С. Ответ: \pi ab Решение
  40. Внутри круга радиуса 15 см взята точка М на расстоянии 13 см от центра. Через точку М проведена хорда длиной 18 см. Найти длины отрезков, на которые точка М делит хорду. Ответ: 4 Решение
  41. В круговой сектор с центральным углом в 120° вписан круг. Найти радиус описанного круга, если радиус данного круга равен R. Ответ: R\sqrt{3}(2-\sqrt{3}) Решение
  42. В круговой сектор, дуга которого содержит 60°, вписан круг. Найти отношение площади этого круга к площади сектора. Ответ: 2:3 Решение
  43. Круг радиуса R обложен четырьмя равными кругами, касающимися данного так, что каждые два соседних из этих четырех кругов касаются друг друга. Вычислить площадь одного из этих кругов. Ответ: \pi R^2(3+2\sqrt{2}) Решение
  44. Три окружности разных радиусов попарно касаются друг друга. Прямые, соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник. Найти радиус меньшей окружности, если радиусы большей и средней окружностей равны 6 и 4 см. Ответ: 2 Решение
  45. Три равные окружности радиуса r попарно касаются одна другой. Вычислить площадь фигуры, расположенной вне окружностей и ограниченной их дугами, заключенными между точками касания. Ответ:  r^2(2\sqrt{3}-\pi)/2 Решение
  46. Общей хордой двух кругов стягиваются дуги в 60 и 120°. Найти отношение площадей этих кругов. Ответ: 3:1  Решение
  47. Доказать, что если диаметр полукруга разделить на две произвольные части и на каждой из них построить как на диаметре полуокружность (внутри данного полукруга), то площадь, заключенная между тремя полуокружностями, равна площади круга, диаметр которого равен длине перпендикуляра к диаметру полукруга, проведенного в точке деления до пересечения с окружностью. Решение
  48. Определить площадь круга, вписанного в сектор круга радиуса R с хордой a. Ответ: \pi (Ra/(R+a))^2  Решение
  49. Сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность, равна а. Вычислить площадь отсекаемого ею сегмента. Ответ: a^2(4\pi-3\sqrt{3})/36 Решение
  50. Сторона квадрата, вписанного в окружность, равна а. Вычислить площадь отсекаемого ею сегмента. Ответ: a^2(\pi-2)/8 Решение