Сканави М.И.
Задачи по планиметрии с ответами и решениями

перейти к содержанию

Группа А. Задачи 151 - 190 (с ответами и решениями)

151. Вычислить площадь трапеции по разности оснований, равной 14 см, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15 см, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.  Ответ: $168$ Решение

152. В трапеции, площадь которой равна 594 м², высота 22 м, а разность параллельных сторон равна 6 м, найти длину каждой из параллельных сторон. Ответ: $30; 24$ Решение

153. Доказать, что площадь трапеции равна произведению длины одной из непараллельных сторон и длины перпендикуляра, проведенного через середину другой боковой стороны к первой.
154. Трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника. Найти отношение площадей треугольников, прилегающих к боковым сторонам трапеции. Ответ: $1$ Решение
155. Диагональ прямоугольной трапеции и ее боковая сторона равны. Найти длину средней линии, если высота трапеции равна 2 см, а боковая сторона 4 см. Ответ: $3\sqrt{3}$ Решение
156. Вычислить площадь прямоугольной трапеции, если ее острый угол равен 60°, меньшее основание равно $a$, а большая боковая сторона равна $b$. Ответ: $(4a+b)b\sqrt{3}/8$ Решение
157. Прямые, содержащие боковые стороны равнобедренной трапеции, пересекаются под прямым углом. Найти длины сторон трапеции, если ее площадь равна 12 см², а длина высоты равна 2 см. Ответ: $4; 8; 2\sqrt{2}$ Решение
158. Определить боковые стороны равнобедренной трапеции, если ее основания и площадь равны соответственно 8 см, 14 см и 44 см². Ответ: $5$ Решение
159. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3 см, периметр равен 42 см. Найти площадь трапеции. Ответ: $96$ Решение
160. В равнобедренной трапеции одно основание равно 40 см, а другое 24 см. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти ее площадь. Ответ: $1024$ Решение
161. В равнобедренной трапеции длина средней линии равна 5, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции. Ответ: $25$ Решение
162. Большее основание'трапеции в 2 раза больше ее меньшего основания. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найти отношение высоты каждой из двух полученных трапеций к высоте трапеции. Ответ: $1:3, 2:3$ Решение
163. Основания равнобедренной трапеции $a$ и $b$, боковая сторона ее равна $c$, а диагональ равна $d$. Доказать, что $d^2=a\cdot b+c^2$.
164. Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции. Ответ: $8\sqrt{5}; 4\sqrt{5}$ Решение
165. В равнобедренной трапеции даны основания $a$=21 см, $b$ = 9 см и высота $h$ = 9 см. Найти радиус описанного круга.  Ответ: $10,625$ Решение
166. В окружность радиуса $R$ вписана трапеция, у которой нижнее основание вдвое больше каждой из остальных сторон. Найти площадь трапеции. Ответ: $3R^2\sqrt{3/4}$ Решение
167. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как 5:12, а длина ее высоты равна 17 см. Вычислить радиус окружности, описанной около трапеции, если известно, что ее средняя линия равна высоте. Ответ: $13$ Решение
168. Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна $h$, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 60°. Ответ: $h^2\sqrt{3}$ Решение
169. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найти основания трапеции. Ответ: $9; 25$ Решение
170. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна $S$, а высота трапеции в 2 раза меньше ее боковой стороны. Определить радиус вписанного круга. Ответ: $\sqrt{2S}/4$ Решение
171. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна $32\sqrt{3}$ см². Определить боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен $\pi/3$. Ответ: $8$ Решение
172. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 8 см². Определить стороны трапеции, если угол при основании содержит 30°. Ответ: $4; 4\pm 2\sqrt{3}$ Решение
173. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна $S$. Определить боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен $\pi/6$. Ответ: $\sqrt{2S}$ Решение
174. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна $S$. Определить радиус круга, если угол при основании трапеции равен 30°. Ответ: $\sqrt{2S}/4$ Решение
175. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса $R$. Верхнее основание трапеции в 2 раза меньше ее высоты. Найти площадь трапеции. Ответ: $5R^2$ Решение
176. Найти площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию, если ее большее основание равно $a$, а угол при меньшем основании равен 120°. Ответ: $\pi a^2/12$ Решение
177. В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки длиной n и m. Определить площадь трапеции. Ответ: $2\sqrt{mn}(m+n)$ Решение
178. В равнобедренную трапецию вписан круг. Доказать, что отношение площади круга к площади трапеции равно отношению длины окружности к периметру трапеции.
179. Равносторонний шестиугольник ABCDEF состоит из двух трапеций, имеющих общее основание CF. Известно, что АС = 13 см, АЕ = 10 см. Найти площадь шестиугольника. Ответ: $120$ Решение
180. Найти сторону правильного шестиугольника, равновеликого равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции. Ответ: $4\sqrt{5};8\sqrt{5}$ Решение
181. Вычислить отношение площадей квадрата, правильного треугольника и правильного шестиугольника, вписанных в одну и ту же окружность. Ответ: $8:3\sqrt{3}:6\sqrt{3}$ Решение
182. Найти отношение площадей равностороннего треугольника, квадрата и правильного шестиугольника, длины сторон которых равны. Ответ: $\sqrt{3}:4:6\sqrt{3}$ Решение
183. В правильный треугольник со стороной, равной $a$, вписана окружность, в которую вписан правильный шестиугольник. Найти площадь шестиугольника. Ответ: $a^2\sqrt{3}/8$ Решение
184. Около квадрата, сторона которого равна $a$, описана окружность, а около окружности — правильный шестиугольник. Определить площадь шестиугольника. Ответ: $a^2\sqrt{3}$ Решение
185. Из точки М, находящейся на расстоянии $a$ от окружности, приведена к этой окружности касательная длиной $2a$. Найти площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность. Ответ: $27a^2\sqrt{3}/8$ Решение
186. В правильный треугольник вписана окружность, а в нее — правильный шестиугольник. Найти отношение площадей треугольника и шестиугольника. Ответ: $2:1$ Решение
187. На сторонах равностороннего треугольника вне его построены квадраты. Их вершины, лежащие вне треугольника, последовательно соединены. Определить площадь полученного шестиугольника, если сторона данного треугольника равна $a$. Ответ: $a^2(3+\sqrt{3})$ Решение
188. В правильный шестиугольник, сторона которого равна $a$, вписана окружность, и около него же описана окружность. Определить площадь кругового кольца, заключенного между этими окружностями. Ответ: $\pi a^2/4$ Решение
189. Данный квадрат со стороной $a$ срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Определить площадь этого восьмиугольника. Ответ: $2a^2(\sqrt{2}-1)$ Решение
190. Доказать, что сумма расстояний от любой точки, взятой внутри правильного шестиугольника, до всех прямых, содержащих его стороны, есть величина постоянная.