Сканави. Планиметрия. Задачи 151 - 190 с ответами и решениями

Сканави М.И.
Задачи по планиметрии с ответами и решениями

Сканави решебник

перейти к содержанию

Группа А. Задачи 151 - 190 (с ответами и решениями)

  1. Вычислить площадь трапеции по разности оснований, равной 14 см, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15 см, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.  Ответ: 168 Решение

  2. В трапеции, площадь которой равна 594 м2, высота 22 м, а разность параллельных сторон равна 6 м, найти длину каждой из параллельных сторон. Ответ: 30; 24 Решение

  3. Доказать, что площадь трапеции равна произведению длины одной из непараллельных сторон и длины перпендикуляра, проведенного через середину другой боковой стороны к первой.
  4. Трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника. Найти отношение площадей треугольников, прилегающих к боковым сторонам трапеции. Ответ: 1 Решение
  5. Диагональ прямоугольной трапеции и ее боковая сторона равны. Найти длину средней линии, если высота трапеции равна 2 см, а боковая сторона 4 см. Ответ: 3\sqrt{3} Решение
  6. Вычислить площадь прямоугольной трапеции, если ее острый угол равен 60°, меньшее основание равно a, а большая боковая сторона равна b. Ответ: (4a+b)b\sqrt{3}/8 Решение
  7. Прямые, содержащие боковые стороны равнобедренной трапеции, пересекаются под прямым углом. Найти длины сторон трапеции, если ее площадь равна 12 см2, а длина высоты равна 2 см. Ответ: 4; 8; 2\sqrt{2} Решение
  8. Определить боковые стороны равнобедренной трапеции, если ее основания и площадь равны соответственно 8 см, 14 см и 44 см2. Ответ: 5 Решение
  9. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3 см, периметр равен 42 см. Найти площадь трапеции. Ответ: 96 Решение
  10. В равнобедренной трапеции одно основание равно 40 см, а другое 24 см. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти ее площадь. Ответ: 1024 Решение
  11. В равнобедренной трапеции длина средней линии равна 5, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции. Ответ: 25 Решение
  12. Большее основание'трапеции в 2 раза больше ее меньшего основания. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найти отношение высоты каждой из двух полученных трапеций к высоте трапеции. Ответ: 1:3, 2:3 Решение
  13. Основания равнобедренной трапеции a и b, боковая сторона ее равна c, а диагональ равна d. Доказать, что d^2=a\cdot b+c^2.
  14. Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции. Ответ: 8\sqrt{5}; 4\sqrt{5} Решение
  15. В равнобедренной трапеции даны основания a=21 см, b = 9 см и высота h = 9 см. Найти радиус описанного круга.  Ответ: 10,625 Решение
  16. В окружность радиуса R вписана трапеция, у которой нижнее основание вдвое больше каждой из остальных сторон. Найти площадь трапеции. Ответ: 3R^2\sqrt{3/4} Решение
  17. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как 5:12, а длина ее высоты равна 17 см. Вычислить радиус окружности, описанной около трапеции, если известно, что ее средняя линия равна высоте. Ответ: 13 Решение
  18. Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна h, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 60°. Ответ: h^2\sqrt{3} Решение
  19. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найти основания трапеции. Ответ: 9; 25 Решение
  20. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S, а высота трапеции в 2 раза меньше ее боковой стороны. Определить радиус вписанного круга. Ответ: \sqrt{2S}/4 Решение
  21. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 32\sqrt{3} см2. Определить боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен \pi/3. Ответ: 8 Решение
  22. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 8 см2. Определить стороны трапеции, если угол при основании содержит 30°. Ответ: 4; 4\pm 2\sqrt{3} Решение
  23. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Определить боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен \pi/6. Ответ: \sqrt{2S} Решение
  24. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Определить радиус круга, если угол при основании трапеции равен 30°. Ответ: \sqrt{2S}/4 Решение
  25. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса R. Верхнее основание трапеции в 2 раза меньше ее высоты. Найти площадь трапеции. Ответ: 5R^2 Решение
  26. Найти площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию, если ее большее основание равно a, а угол при меньшем основании равен 120°. Ответ: \pi a^2/12 Решение
  27. В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки длиной n и m. Определить площадь трапеции. Ответ: 2\sqrt{mn}(m+n) Решение
  28. В равнобедренную трапецию вписан круг. Доказать, что отношение площади круга к площади трапеции равно отношению длины окружности к периметру трапеции.
  29. Равносторонний шестиугольник ABCDEF состоит из двух трапеций, имеющих общее основание CF. Известно, что АС = 13 см, АЕ = 10 см. Найти площадь шестиугольника. Ответ: 120 Решение
  30. Найти сторону правильного шестиугольника, равновеликого равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции. Ответ: 4\sqrt{5};8\sqrt{5} Решение
  31. Вычислить отношение площадей квадрата, правильного треугольника и правильного шестиугольника, вписанных в одну и ту же окружность. Ответ: 8:3\sqrt{3}:6\sqrt{3} Решение
  32. Найти отношение площадей равностороннего треугольника, квадрата и правильного шестиугольника, длины сторон которых равны. Ответ: \sqrt{3}:4:6\sqrt{3} Решение
  33. В правильный треугольник со стороной, равной a, вписана окружность, в которую вписан правильный шестиугольник. Найти площадь шестиугольника. Ответ: a^2\sqrt{3}/8 Решение
  34. Около квадрата, сторона которого равна a, описана окружность, а около окружности — правильный шестиугольник. Определить площадь шестиугольника. Ответ: a^2\sqrt{3} Решение
  35. Из точки М, находящейся на расстоянии a от окружности, приведена к этой окружности касательная длиной 2a. Найти площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность. Ответ: 27a^2\sqrt{3}/8 Решение
  36. В правильный треугольник вписана окружность, а в нее — правильный шестиугольник. Найти отношение площадей треугольника и шестиугольника. Ответ: 2:1 Решение
  37. На сторонах равностороннего треугольника вне его построены квадраты. Их вершины, лежащие вне треугольника, последовательно соединены. Определить площадь полученного шестиугольника, если сторона данного треугольника равна a. Ответ: a^2(3+\sqrt{3}) Решение
  38. В правильный шестиугольник, сторона которого равна a, вписана окружность, и около него же описана окружность. Определить площадь кругового кольца, заключенного между этими окружностями. Ответ: \pi a^2/4 Решение
  39. Данный квадрат со стороной a срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Определить площадь этого восьмиугольника. Ответ: 2a^2(\sqrt{2}-1) Решение
  40. Доказать, что сумма расстояний от любой точки, взятой внутри правильного шестиугольника, до всех прямых, содержащих его стороны, есть величина постоянная.