Сканави. Планиметрия. Задачи 191 - 240 с ответами и решениями

Сканави М.И.
Задачи по планиметрии с ответами и решениями

Сканави решебник

перейти к содержанию

Группа Б. Задачи 191 - 240 (с ответами и решениями)

  1. Внутри прямого угла дана точка М, расстояния от которой до сторон угла равны 4 и 8 см. Прямая, проходящая через точку М, отсекает от прямого угла треугольник площадью 100 см2. Найти катеты треугольника. Ответ: 40; 5 или 10; 20

  2. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника с площадями Q и q. Найти катеты. Ответ: \sqrt{2(Q+q)\sqrt{Q/q}}; \sqrt{2(Q+q)\sqrt{q/Q}}
  3. Периметр прямоугольного треугольника ABC (угол C=90°) равен 72 см, а разность между длинами медианы СМ и высоты СК равна 7 см. Найти длину гипотенузы. Ответ: 32
  4. В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны \sqrt{52} и \sqrt{73}. Найти гипотенузу треугольника. Ответ: 10
  5. Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см. Найти его стороны, если высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см. Ответ: 15; 20; 25
  6. Найти биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны а и b. Ответ: \frac{ab\sqrt{2}}{a+b}
  7. В прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до одного из катетов равно 5 см, а расстояние от середины этого катета до гипотенузы равно 4 см. Вычислить площадь треугольника. Ответ: 200/3
  8. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с. Проекция вершины прямого угла на гипотенузу делит ее на два отрезка, из которых меньший относится к большему как больший ко всей гипотенузе. Определить площадь треугольника. Ответ: \frac{c^2\cdot\sqrt{\sqrt{5}-2}}{2}
  9. Определить стороны прямоугольного треугольника, у которого периметр равен 2р, а площадь равна m2.
  10. Стороны треугольника равны 3, 4 и 5 см. Определить площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник высотой и медианой, проведенными к большей по величине стороне. Ответ: 2,16; 3; 0,84
  11. Высоты треугольника равны 12, 15 и 20 см. Доказать, что треугольник прямоугольный.
  12. Числа h_1, h_2, h_3 выражают длины высот некоторого треугольника. Показать, что если выполняется равенство (h_1/h_2)^2+(h_1/h_3)^2=1, то треугольник является прямоугольным.
  13. Медианы треугольника равны 5, \sqrt{52} и \sqrt{73} см. Доказать, что треугольник прямоугольный.
  14. Числа m_1, m_2 и m_3 выражают длины медиан некоторого треугольника. Показать, что если выполняется равенство m_1^2+m_2^2=5m_3^2, то треугольник является прямоугольным.
  15. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе, вдвое больше площади прямоугольного треугольника с указанной гипотенузой. Найти отношение катетов.  Ответ: \sqrt{3}
  16. Внутри равностороннего треугольника взята точка М, отстоящая от его сторон на расстояния b, с, d. Найти высоту треугольника. Ответ: b+c+d
  17. Точка М лежит внутри равностороннего треугольника ABC. Вычислить площадь этого треугольника, если известно, что АМ=ВМ=2 см, а СМ= 1 см. Ответ: \frac{9\sqrt{3}+3\sqrt{15}}{8}
  18. Показать, что сумма расстояний от любой точки, взятой на стороне правильного треугольника, до двух других его сторон есть величина постоянная.
  19. Основания двух правильных треугольников со сторонами а и 2а лежат на одной и той же прямой. Треугольники расположены по разные стороны от прямой и не имеют общих точек, а расстояние между ближайшими концами их оснований равно 2а. Найти расстояние между вершинами треугольников, не принадлежащими данной прямой. Ответ: 2a\sqrt{7}
  20. Точка С перемещается по отрезку АВ длиной l. На отрезках АС и СВ как на основаниях построены правильные треугольники по одну сторону от АВ. Где нужно взять точку С, чтобы расстояние между вершинами треугольников было наименьшим?
  21. В равнобедренном треугольнике угол при основании содержит 72°, а биссектриса этого угла имеет длину, равную m. Найти длины сторон треугольника. Ответ: m(\sqrt{5}+1)/2; m
  22. В равнобедренном треугольнике угол при вершине содержит 36°, а биссектриса угла при основании равна  \sqrt{20}. Найти длины сторон треугольника. Ответ: 2\sqrt{5}; 5+\sqrt{5}
  23. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной b, проведены биссектрисы углов при основании. Отрезок прямой между точками пересечения биссектрис с боковыми сторонами равен m. Определить основание треугольника. Ответ: bm/(b-m)
  24. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12 см, а боковой стороны - 18 см. К боковым сторонам треугольника проведены высоты. Вычислить длину отрезка, концы которого совпадают с основаниями высот. Ответ: 28/3
  25. Основание равнобедренного треугольника равно 8, а боковая сторона — 12. Найти длину отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника. Ответ:  4,8
  26. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) на стороне ВС взята точка D так, что BD: DC = 1:4. В каком отношении прямая AD делит высоту BE треугольника ABC, считая от вершины В? Ответ: 1:2
  27. Равнобедренный треугольник со сторонами 8, 5 и 5 разделен на три равновеликие части перпендикулярами, проведенными из некоторой точки к его сторонам. Найти расстояние от этой точки до каждой стороны треугольника. Ответ: 4\sqrt{3}/3; 4\sqrt{3}/3; (9-5\sqrt{3})/3
  28. Определить углы равнобедренного треугольника, если его площадь относится к площади квадрата, построенного на его основании,  как \sqrt{3}:12. Ответ: 30,30,120
  29. Найти третью сторону остроугольного треугольника, если две его стороны равны а и b, а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Ответ: \sqrt{(a^2+b^2)/5}
  30. Две стороны треугольника равны 6 и 8 см. Медианы, проведенные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны. Найти третью сторону треугольника. Ответ: 2\sqrt{5}
  31. Высота, основание и сумма боковых сторон треугольника равны соответственно 24, 20 и 56 см. Найти боковые стороны. Ответ: 26; 30
  32. Дан треугольник ABC, в котором 2hc=AB и угол A = 75°. Найти величину угла С. Ответ: 75
  33. Внутри угла в 60° расположена точка, отстоящая на расстояния \sqrt{7} и 2\sqrt{7} см от сторон угла. Найти расстояние от этой точки до сторон угла. Ответ: 14\sqrt{3}/3
  34. Длины двух сторон остроугольного треугольника равны \sqrt{13} и \sqrt{10} см. Найти длину третьей стороны, зная, что эта сторона равна проведенной к ней высоте. Ответ: 3
  35. Расстояния от точки М, лежащей внутри треугольника ABC, до его сторон АС и ВС равны соответственно 2 и 4 см. Вычислить расстояние от точки М до прямой АВ, если АВ = 10 см, ВС= 17 см, АС = 21 см. Ответ: 5,8
  36. Найти отношение суммы квадратов всех медиан треугольника к сумме квадратов всех его сторон. Ответ: 3:4
  37. Найти площадь треугольника, если его высоты равны 12, 15 и 20 см. Ответ: 150
  38. В треугольнике ABC проведена прямая DE, параллельная основанию АС. Площадь треугольника ABC равна 8 кв. ед., а площадь треугольника DEC равна 2 кв. ед. Найти отношение отрезка DE к длине основания треугольника ABC. Ответ: 1:2
  39. Длины сторон треугольника относятся как m:n:m. Найти отношение площади этого треугольника к площади треугольника, вершины которого находятся в точках пересечения биссектрис данного треугольника с его сторонами. Ответ: (m+n)^2/(mn)
  40. В треугольнике АВС проведены медианы BD и СЕ; М — точка их пересечения. Доказать, что треугольник ВСМ равновелик четырехугольнику ADME.
  41. Отношение величин двух углов треугольника равно 2, а разность длин противоположных им сторон равна 2 см; длина третьей стороны треугольника равна 5 см. Вычислить площадь треугольника. Ответ: 15\sqrt{7}/4
  42. В треугольнике ABC известны: ВС= 15 см, АС =14 см, АВ = 13 см. Вычислить площадь треугольника, заключенного между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины В. Ответ: 9
  43. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15 см. Определить площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами. Ответ: 14
  44. Медианы одного треугольника равны сторонам другого треугольника. Найти отношение площадей этих треугольников. Ответ: 4:3
  45. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 см. Найти площадь треугольника. Ответ: 8
  46. Основание треугольника равно 20 см, медианы боковых сторон равны 18 и 24 см. Найти площадь треугольника. Ответ: 288
  47. Медианы треугольника равны 5, 6 и 5 м. Найти площадь треугольника. Ответ: 16
  48. Определить площадь треугольника, если две, его стороны равны 1 и \sqrt{15} см, а медиана третьей стороны равна 2 см. Ответ: \sqrt{15}/2
  49. Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 35 и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см. Ответ: 235,2
  50. Биссектрисы углов А и В треугольника ABC одинаково наклонены к сторонам ВС и АС. Найти зависимость между углами А и В. Ответ: A+B=120