Сканави. Планиметрия. Задачи 241 - 290 с ответами и решениями

Сканави М.И.
Задачи по планиметрии с ответами и решениями

Сканави решебник

перейти к содержанию

Группа Б. Задачи 241 - 290 (с ответами и решениями)

  1. На медиане BD треугольника ABC, площадь которого равна S, построена точка Е так, что DE=BD/4. Через точку Е проведена прямая АЕ, пересекающая сторону ВС в точке F. Найти площадь треугольника AFC. Ответ: 2S/5

  2. На каждой медиане треугольника взята точка, делящая медиану в отношении 1:3, считая от вершины. Во сколько раз площадь треугольника с вершинами в этих точках меньше площади исходного треугольника? Ответ: в 2,56 раза
  3. Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6\sqrt{3}. Определить периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей. Ответ: 12\sqrt{3}+14\pi  www.itmathrepetitor.ru
  4. Две окружности, радиусы которых 4 н 8, пересекаются под прямым углом. Определить длину их общей касательной. Ответ: 8
  5. Две окружности разных радиусов касаются друг друга внешним образом. Найти угол, определяемый хордами, соединяющими точку касания окружностей с точками касания их общей внешней касательной. Ответ: \pi/2
  6. К двум внешне касающимся окружностям радиусов R и r построена секущая так, что окружности отсекают на ней три равных отрезка. Найти длины этих отрезков. Ответ: \sqrt{(14Rr-R^2-r^2)/2}/2
  7. Две окружности радиусов r и 3r внешне касаются. Найти площадь фигуры, заключенной между окружностями и их общей внешней касательной. Ответ: r^2(24\sqrt{3}-11\pi)/6
  8. Две окружности радиусов R и r касаются друг друга внешним образом. К этим окружностям проведена общая внешняя касательная, и в образовавшийся при этом треугольник вписан круг. Найти его площадь. Ответ: \pi R^2r^2/(\sqrt{R}+\sqrt{r})^4
  9. В окружности с центром О проведена хорда АВ, пересекающая диаметр в точке М и составляющая с диаметром угол, равный 60°. Найти ОМ, если AM = 10 см, а ВМ=4 см. Ответ: 6
  10. Из одной точки окружности проведены две хорды длиной 9 и 17 см. Найти радиус окружности, если расстояние между серединами данных хорд равно 5 см. Ответ: 85/8
  11. Из одной точки окружности проведены две хорды длиной 10 и 12 см. Найти радиус окружности, если расстояние от середины меньшей хорды до большей хорды равно 4 см. Ответ: 6,25
  12. В окружности радиуса R проведены две пересекающиеся перпендикулярные хорды АВ и CD. Доказать, что AC2+BD2=4R2.
  13. Через точку А окружности радиуса 10 см проведены две взаимно перпендикулярные хорды АВ и АС. Вычислить радиус окружности, касающейся данной окружности и построенных хорд, если АВ=16. Ответ: 8
  14. Через точку Р диаметра данной окружности проведена хорда АВ, образующая с диаметром угол 60°. Вычислить радиус окружности, если АР=а и ВР=b. Ответ: \sqrt{a^-ab+b^2}
  15. В круге радиуса R проведены по разные стороны от центра две параллельные хорды, одна из которых стягивает дугу в 60°, другая — 120°. Найти площадь части круга, заключенной между хордами. Ответ: R^2(\pi+\sqrt{3})/2
  16. Периметр сектора равен 28, а его площадь равна 49. Определить длину дуги сектора. Ответ: 14
  17. Найти радиус круга, в сегмент которого, соответствующий хорде длиной 6 см, вписан квадрат со стороной 2 см. Ответ: \sqrt{10}
  18. Определить площадь сегмента, если его периметр равен р, а дуга содержит 120°. Ответ: \displaystyle\frac{3p^2(4\pi-3\sqrt{3})}{4(2\pi+3\sqrt{3})^2}
  19. Два круга концентричны, причем окружность меньшего круга делит большой круг на равновеликие части. Доказать, что часть кольца,заключенная между параллельными касательными к окружности меньшего радиуса, равновелика квадрату, вписанному в меньший круг.
  20. В угол вписаны три окружности — малая, средняя и большая. Большая окружность проходит через центр средней, а средняя — через центр малой. Определить радиусы средней и большой окружностей, если радиус меньшей равен r и расстояние от ее центра до вершины угла равно а. Ответ: \displaystyle\frac{ar}{a-r},\frac{a^2r}{(a-r)^2}
  21. В угол, содержащий 60°, вписаны пять окружностей так, что каждая последующая окружность (начиная со второй) касается предыдущей. Во сколько раз сумма площадей всех пяти кругов больше площади меньшего круга? Ответ: 7381
  22. На отрезке АС длиной 12 см построена точка В так, что АВ=4. На отрезках АВ и АС как на диаметрах в одной полуплоскости с границей АС построены полуокружности. Вычислить радиус окружности, касающейся построенных окружностей и АС. Ответ: 3
  23. На отрезке АВ и на каждой его половине построены как на диаметрах полукруги (по одну сторону от АВ). Считая радиус большого полукруга равным R, найти сумму площадей криволинейных треугольников, образовавшихся при построении круга, касательного ко всем трем данным кругам. Ответ: 5\pi r^2/36
  24. На отрезке АВ взята точка С и на частях АС и СВ отрезка АВ как на диаметрах построены полуокружности. Доказать, что сумма длин этих полуокружностей на зависит от положения точки С на отрезке АВ.
  25. Криволинейный треугольник составлен тремя равными попарно касающимися дугами окружностей радиуса R. Найти площадь этого треугольника. Ответ: R^2(2\sqrt{3}-\pi)/2
  26. Круг с центром О разделен диаметром АВ на два полукруга. В одном из них построены два новых полукруга, опирающиеся на ОА и ОВ как на диаметры. В криволинейную фигуру, ограниченную контурами этих трех полукругов, вписан круг. Во сколько раз его площадь меньше площади данного круга? Ответ: 9
  27. Две окружности радиуса R пересекаются так, что каждая проходит через центр другой. Две другие окружности того же радиуса имеют центры в точках пересечения первых двух окружностей. Найти площадь, общую всем четырем кругам. Ответ: \displaystyle\frac{R^2(2\pi-3\sqrt{3})}{6}
  28. Окружность радиуса R разделена на шесть равных дуг, и внутри круга, ограниченного этой окружностью, через каждые две соседние точки деления проведены равные дуги такого радиуса, что на данной окружности они взаимно касаются. Вычислить площадь внутренней части данного круга, заключенной между проведенными дугами. Ответ: \displaystyle\frac{2R^2(3\sqrt{3}-\pi)}{3}
  29. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна А; радиус вписанной окружности равен  r. Найти гипотенузу. Ответ: \displaystyle\frac{2r^2}{h-2r} www.itmathrepetitor.ru
  30. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу в отношении 2:3. Найти стороны треугольника, если центр вписанной окружности удален от вершины прямого угла на расстояние \sqrt{8}. Ответ: 10; 6; 8
  31. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см, а гипотенуза равна 10 см. Найти радиус вписанной окружности. Ответ: 2
  32. Найти площадь прямоугольного треугольника, если даны радиусы R и r описанного и вписанного в него кругов. Ответ: r^2+2Rr
  33. Найти площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника, длины катетов которого являются корнями уравнения ax2+bx+c=0. Ответ: \displaystyle\frac{\pi(b^2-2ac)}{4a^2}
  34. Длины катетов некоторого прямоугольного треугольника являются корнями уравнения ах2 + bx + с=0. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.  Ответ: \displaystyle\frac{-(b+\sqrt{b^2-2ac})}{2a}
  35. На большом катете прямоугольного треугольника как на диаметре построена окружность. Определить радиус этой окружности, если меньший катет треугольника равен 7,5 см, а длина хорды, соединяющей вершину прямого угла с точкой пересечения гипотенузы и окружности, равна 5 см. Ответ: 5
  36. Центр полуокружности, вписанной в прямоугольный треугольник так, что ее диаметр лежит на гипотенузе, делит гипотенузу на отрезки 30 и 40. Найти длину дуги полуокружности, заключенной между точками ее касания с катетами. Ответ: 12\pi
  37. Прямоугольный треугольник ABC разделен высотой CD, проведенной к гипотенузе, на два треугольника BCD и ACD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD, равны соответственно 4 и 3 см. Найти расстояние между их центрами. Ответ: 5\sqrt{2}
  38. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Через середину меньшего катета и середину гипотенузы проведена окружность, касающаяся гипотенузы. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью. Ответ: \displaystyle\frac{100\pi}{9}
  39. В прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 см вписана окружность. Через центр окружности проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Вычислить длины средних отрезков сторон треугольника, отсекаемых построенными прямыми. Ответ: 25/6
  40. Показать, что во всяком прямоугольном треугольнике сумма полупериметра и радиуса вписанной окружности равна сумме катетов.
  41. Показать, что во всяком прямоугольном треугольнике сумма диаметров описанной и вписанной окружностей равна сумме его катетов.
  42. Сторона правильного треугольника равна а. Определить площадь части треугольника, лежащей вне круга радиуса а/3, центр которого совпадает с центром треугольника. Ответ: \displaystyle\frac{a^2(3\sqrt{3}-\pi)}{18}
  43. В круг радиуса R вписан правильный треугольная, высоты которого продолжены до пересечения с окружностью. Эти точки пересечения соединены между собой, в результате чего получается новый треугольник. Вычислить ту часть площади круга, которая находится вне этих треугольников. Ответ: R^2(\pi-\sqrt{3})
  44. В равносторонний треугольник ABC со стороной а=2 см вписан круг; точка А является центром второго круга с радиусом 1 см. Найти площадь пересечения этих кругов. Ответ: \displaystyle\frac{5\pi-6\sqrt{3}}{18}
  45. Внутри правильного треугольника со стороной а расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Найти площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей. Ответ: \displaystyle\frac{a^2(2\sqrt{3}-6\pi+3\pi\sqrt{3})}{8}
  46. Центр равностороннего треугольника со стороной, равной 6 см, совпадает с центром окружности радиуса 2 см. Определить площадь части треугольника, лежащей вне этой окружности. Ответ: 2(3\sqrt{3}-\pi)
  47. Около круга радиуса R описаны квадрат и равносторонний треугольник, причем одна из сторон квадрата лежит на стороне треугольника. Вычислить площадь общей части треугольника и квадрата. Ответ: \displaystyle\frac{R^2\sqrt{3}(6\sqrt{3}-4)}{3}
  48. Около круга радиуса 3 описан равнобедренный треугольник с острым углом 30° при основании. Определить стороны треугольника. Ответ: 6\sqrt{3}+12
  49. Окружности радиусов R и r касаются друг друга внешним образом. Боковые стороны равнобедренного треугольника являются их общими касательными, а основание касается большей из окружностей. Найти основание треугольника. Ответ: \displaystyle\frac{2R^2}{\sqrt{Rr}} www.itmathrepetitor.ru
  50. Какими целыми числами выражаются стороны равнобедренного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 3/2 см, а описанной 25/8 см? Ответ: 5; 5; 6

перейти к содержанию задачника

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *