Справочник. Квадратный трехчлен и его свойства

Квадратный трехчлен и его свойства

Стандартный вид

$ax^2+bx+c$ , $a\ne 0$

Квадратное уравнение

$ax^2+bx+c=0$ , $a\ne 0$

Дискриминант $D = b^2-4ac$ .

Если $D<0$ , то корней нет.
Если $D=0$ , то $x=\displaystyle\frac{-b}{2a}$ .
Если $D>0$ , то $x_{1,2}=\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$

смотрите статью Как решать квадратные уравнения

Пример анализа графика

Теорема Виета

Если квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ имеет корни, то
$x_1+x_2=-\displaystyle\frac{b}{a}$ и $x_1\cdot x_2=\displaystyle\frac{c}{a}$

Расположение корней

$f(x)=ax^2+bx+c$ , $x_0=-\displaystyle\frac{b}{2a}$ , $x_1, x_2$ - корни трехчлена и $x_1<x_2$ , $m_1<m_2$ .

Утверждение о расположении корней на числовой оси относительно чисел $m_1$ и $m_2$	Необходимые и достаточные условия
Оба корня больше данного числа $m_1$ $m_1<x_1<x_2$	$\left\{\begin{array}{l l} D>0,\\ a\cdot f(m_1)>0,\\ x_0>m_1 \end{array}\right.$
Оба корня меньше данного числа $m_2$ $x_1<x_2<m_2$	$\left\{\begin{array}{l l} D>0,\\ a\cdot f(m_2)>0,\\ x_0<m_2 \end{array}\right.$
Оба корня принадлежат данному интервалу $(m_1; m_2)$ $m_1<x_1<x_2<m_2$	$\left\{\begin{array}{l l} D>0,\\ a\cdot f(m_1)>0,\\ a\cdot f(m_2)>0, \\ m_1<x_0<m_2 \end{array}\right.$
Только меньший корень принадлежит данному интервалу $(m_1; m_2)$ $m_1<x_1<m_2<x_2$	$\left\{\begin{array}{l l} a\cdot f(m_1)>0,\\ a\cdot f(m_2)<0 \end{array}\right.$
Только больший корень принадлежит данному интервалу $(m_1; m_2)$ $x_1<m_1<x_2<m_2$	$\left\{\begin{array}{l l} a\cdot f(m_1)<0,\\ a\cdot f(m_2)>0 \end{array}\right.$
Один из корней меньше данного числа $m_1$ , а другой корень больше данного числа $m_2$ $x_1<m_1<m_2<x_2$	$\left\{\begin{array}{l l} a\cdot f(m_1)<0,\\ a\cdot f(m_2)<0 \end{array}\right.$
Один из корней меньше данного числа $m_1$ , а другой корень больше этого числа $x_1<m_1<x_2$	$a\cdot f(m_1)<0$