Неопределенный интеграл

перейти к содержанию справочника

 $\int f(x)dx=F(x)+C$
где $F(x)$ - первообразная функции $f(x)$ на промежутке, $C$ - произвольная постоянная

Основные свойства

1. $\left(\int f(x)dx\right)'=f(x)$
2. $d\int f(x)dx=f(x)dx$
3. $\int F'(x)dx=F(x)+C$
4. $\int dF(x) = F(x)+C$
5. Если $\int f(x)dx=F(x)+C$, то $\int f(ax+b)dx=\displaystyle\frac{1}{a}F(ax+b)+C$
6. $\int (\alpha f(x)+\beta g(x))dx = \alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx$

Формула интегрирования по частям

$\int fdg = f\cdot g-\int gdf$

Таблица неопределенных интегралов

$\int 0\cdot dx = C$

$\int dx =\int 1\cdot dx = x + C$

$\int xdx = \displaystyle\frac{x^2}{2}+C$

$\int x^2dx = \displaystyle\frac{x^3}{3}+C$

$\int x^ndx=\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ при  $n\ne -1$

$\int\displaystyle\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$

$\int\sin xdx=-\cos x+C$

$\int \cos xdx=\sin x+C$

$\int \displaystyle\frac{dx}{\cos^2x}=\mathrm{tg} x +C$

$\int \displaystyle\frac{dx}{\sin^2x}=-\mathrm{ctg} x +C$

$\int e^xdx=e^x+C$

$\int a^xdx = \displaystyle\frac{a^x}{\ln a}+C$

$\int \mathrm{tg} xdx=-\ln|\cos x|+C$

$\int \mathrm{ctg} xdx=\ln|\sin x|+C$

$\int\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$

$\int\displaystyle\frac{1}{1+x^2}dx=\mathrm{arctg} x+C$

$\int\displaystyle\frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+C$

$\int\displaystyle\frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\displaystyle\frac{a+x}{a-x}\right|+C$