Справочник олимпиадника. Планиметрия. Окружность

Справочник олимпиадника.  Окружность

окружность

к содержанию справочника

1. Две окружности радиусов r и R (r<R) пересекаются тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами меньше, чем (r+R) , но больше, чем (Rr).

2. На отрезке АВ взята точка С. Прямая, проходящая через точку С, пересекает окружности с диаметрами АС и ВС в точках К и L, а также окружность с диаметром АВ — в точках М и N. Тогда КМ равно LN.

3. Две окружности пересекаются в точках А и В. Продолжения хорд АС и BD первой окружности пересекают вторую окружность в точках Е и F. Тогда прямые CD и EF параллельны.

4. Через точку касания двух окружностей проведена секущая. Тогда касательные, проведенные к окружностям через концы образовав­шихся хорд, параллельны.

5. Теорема Коперника. По неподвижной окружности, касаясь её изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Тогда фиксированная точка К подвижной окружности движется по диаметру неподвижной окружности.

6. Две окружности касаются внутренним образом в точке М . Пусть АВ — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке. Тогда МТ — биссектриса угла АМВ.

7. Общие хорды трех попарно пересекающихся окружностей проходят через одну точку.

8. Точка М находится на продолжении хорды АВ. Если точка С окружности такова, что MC^2=MA\cdot MB, то МС — касательная к окружности.

9. Три окружности равных радиусов пересекаются в точке О и, кроме того, попарно пересекаются в точках А, В и С. Тогда

     а) окружность, описанная около треугольника ABC, имеет тот же радиус;

 б) три прямые, каждая из которых соединяет центр одной окруж­ности с точкой пересечения двух других, пересекаются в одной точке;

     в) точка О — ортоцентр треугольника ABC.

10. Две окружности пересекаются в точках А и В. В каждой из этих окружностей проведены хорды АС и AD так, что хорда одной окружности касается другой окружности. Тогда AB=\sqrt{CB\cdot DH}.

11. Окружность и прямая касаются в точке М. Из точек А и В этой окружности опущены перпендикуляры на прямую, равные a и b соответственно. Тогда расстояние от точки М до прямой АВ равно \sqrt{ab}.

12. Из точки М, лежащей вне окружности, проведены к этой окружности две касательные. Если расстояния от точки С, лежащей на окружности, до касательных равны a и b, то расстояние от точки С до прямой АВ (А и В — точки касания) равно \sqrt{ab}.

13. Из точки А проведены к окружности две касательные АР и AQ (Р и Q — точки касания) и секущая AKL (точка К между А и L). Пусть М —середина отрезка KL,тогда угол AMP равен углу AMQ.

14. На продолжении хорды KL окружности с центром О взята точка А, и из нее проведены касательные АР и AQ; М — середина отрезка PQ. Тогда угол MKO равен углу MLO.

15. Задача о бабочке. Через середину С произвольной хорды АВ окружности проведены две хорды KL и MN (точки К и М лежат по одну сторону от АВ). Отрезок KN пересекает АВ в точке Р. Отрезок LM пересекает АВ в точке Q . Тогда PC равно QC.

16. Окружность Аполлония. Геометрическое место точек, расстояния от каждой из которых до двух данных точек относятся как т : п ( m\ne n ), есть окружность.

17. Произведение радиусов вписанной и описанной окружностей равно отношению произведения трех сторон треугольника к удвоенному периметру, то есть rR=\frac{abc}{2(a+b+c)}.

18. Отношение радиусов вписанной и описанной окружностей равно учетверенному произведению синусов половинных углов треугольника, то есть \frac{r}{R}=4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}.

19. В остроугольном треугольнике сумма радиусов вписанной и описанной окружностей равна сумме расстояний от центра описанной окружности до сторон треугольника, то есть r+R=OA_1+OB_1+OC_1  (О – центр описанной окружности; A1, B1, C1 – середины сторон).

20. Радиус вписанной в треугольник окружности не превосходит половины радиуса описанной окружности, то есть r\le \frac{R}{2}.

21. Радиус описанной окружности не меньше периметра треугольника, деленного на 3\sqrt{3}, то есть R\ge\frac{2p}{3\sqrt{3}}.

22. Радиус вписанной окружности не больше полупериметра треугольника, деленного на 3\sqrt{3}, то есть r\le\frac{p}{3\sqrt{3}}

23. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, касающихся двух других сторон треугольника, то есть \frac{1}{h_a}=\frac{1}{2}(\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c})

24. Сумма всех трех радиусов вневписанных окружностей не меньше полупериметра треугольника, умноженного на \sqrt{3}, то есть  r_a+r_b+r_c\ge p\sqrt{3}.

25. Сумма расстояний от центра вписанной окружности до центров всех трех вневписанных окружностей не превосходит утроенного диаметра описанной окружности, то есть JO_A+JO_B+JO_C\le 6R (J – центр вписанной окружности).

26. Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, то есть  r_a+r_b+r_c=r+4R.

27. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, то есть \frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r}.

28. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, то есть r_a r_b+r_b r_c+r_c r_a=p^2.

29. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника, то есть r_a r_b r_c =rp^2.

Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника, то есть S=\frac{r_a r_b r_c}{p}.

Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности, то есть S=\sqrt{r_a r_b r_c r}.