Планиметрия

Основные сведения из школьной геометрии

1. Признаки равенства треугольников.
1) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.
2) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.
3) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны.

2. Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника.
1) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
2) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
3) Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
4) Если медиана треугольника является его высотой, то треугольник
равнобедренный.
5) Если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
6) Если медиана треугольника является его биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

3. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину (серединный перпендикуляр к отрезку).

4. Признаки и свойства параллельных прямых.
1) Аксиома параллельных. Через данную точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
2) Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные внутренние накрест лежащие углы, то прямые параллельны.
3) Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.
4) Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
5) Если две параллельные прямые пересечь третьей, то образованные при этом внутренние накрест лежащие углы равны.

5. Теорема о сумме углов треугольника и следствия из нее.
1) Сумма внутренних углов треугольника равна 180◦.
2) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов.
3) Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180◦(n−2).
4) Сумма внешних углов n-угольника равна 360◦.
5) Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.

6. Если биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке M , то ∠BMC = 90◦+ ∠A/2.

7. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90◦.

8. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.

9. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
1) По двум катетам.
2) По катету и гипотенузе.
3) По гипотенузе и острому углу.
4) По катету и острому углу.

10. Геометрическое место внутренних точек угла, равноудаленных от его сторон, есть биссектриса угла.

11. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30◦, равен половине гипотенузы.

12. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30◦.

13. Неравенство треугольника. Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны.

14. Следствие из неравенства треугольника. Сумма звеньев ломаной больше отрезка, соединяющего начало первого звена с концом последнего.

15. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

16. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

17. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.

18. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр и наклонные, то
1) перпендикуляр короче наклонных;
2) большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот

19. Параллелограмм. Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Свойства и признаки параллелограмма.
1) Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треуголь-ника.
2) Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
3) Противоположные углы параллелограмма попарно равны.
4) Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
5) Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
6) Если две противоположные стороны четырехугольника равны
и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
7) Если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

20. Прямоугольник. Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.
Свойства и признаки прямоугольника.
1) Диагонали прямоугольника равны.
2) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

21. Ромб. Ромбом называется четырехугольник, все стороны которого равны.
Свойства и признаки ромба.
1) Диагонали ромба перпендикулярны.
2) Диагонали ромба делят его углы пополам.
3) Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.
4) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.

22. Квадрат. Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.

23. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой — две параллельные прямые.

24. Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие второю сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные отрезки.

25. Средняя линия треугольника. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией треугольника.
Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.

26. Свойство середин сторон четырехугольника. Середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

27. Теорема о медианах треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

28. а) Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
б) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

29. Трапеция. Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противоположные стороны (основания) параллельны. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон (боковых сторон).
Теорема о средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

30. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

31. Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции.
1) Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3) Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
4) Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
5) Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали — полусумме оснований.

32. Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, удаленных от данной точки, называемой центром окружности, на одно и то же положительное расстояние.
Свойства окружности.
1) Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
2) Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.
3) Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
4) Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.
5) Хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния, равны.
6) Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.
7) Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.
8) Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.
9) Диаметр есть наибольшая хорда окружности.

33. Замечательное свойство окружности. Геометрическое место точек M , из которых отрезок AB виден под прямым углом (∠AMB =90◦), есть окружность с диаметром AB без точек A и B.

34. Геометрическое место точек M , из которых отрезок AB виден под острым углом (∠AMB < 90◦) есть внешность круга с диаметром AB без точек прямой AB.

35. Геометрическое место точек M , из которых отрезок AB виден под тупым углом (∠AMB > 90◦), есть внутренность круга с диаметром AB без точек отрезка AB.

36. Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.

37. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.

38. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника — середина гипотенузы.

39. Теорема о высотах треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

40. Касательная к окружности. Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности.
1) Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
2) Если прямая l, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то прямая l — касательная к окружности.
3) Если прямые, проходящие через точку M , касаются окружности в точках A и B, то MA = MB.
4) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
5) Теорема о биссектрисах треугольника. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник

41. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c, равен (a + b − c)/2.

42. Если M — точка касания со стороной AC окружности, вписанной в треугольник ABC, то AM = p − BC, где p — полупериметр треугольника.

43. Окружность касается стороны BC треугольника ABC и продолжений сторон AB и AC. Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности с прямой AB равно полупериметру треугольника ABC.

44. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC соответственно в точках K, L и M . Если ∠BAC = α, то ∠KLM = 90◦− α/2.

45. Даны окружности радиусов r и R (R > r). Расстояние между их центрами равно a (a > R + r). Тогда отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключенные между точками касания, равны соответственно $\sqrt{a^2-(R-r)^2}$ и $\sqrt{a^2-(R+r)^2}$

46. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

47. Касающиеся окружности. Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точка касания).
1) Точка касания двух окружностей лежит на их линии центров.
2) Окружности радиусов r и R с центрами O1 и O2 касаются внешним образом тогда и только тогда, когда R + r = O1O2.
3) Окружности радиусов r и R (r < R) с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда R − r = O1O2.
4) Окружности с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке K. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекается с общей касательной, проходящей через точку K, в точке C. Тогда ∠AKB = 90◦ и ∠O1CO2 = 90◦.

48. Углы, связанные с окружностью.
1) Угловая величина дуги окружности равна угловой величине центрального угла.
2) Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается.
3) Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.
4) Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.
5) Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

49. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

50. Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, есть две дуги равных окружностей (без концов этих дуг).

51. Если четырехугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180◦.

52. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180◦, то около него можно описать окружность.

53. Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.

54. Если M — точка на отрезке AB, причем AM : BM = a : b, то AM : AB = a : (a + b), BM : AB = b : (a + b).

55. Теорема о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, высекают на них пропорциональные отрезки.

56. Подобие. Признаки подобия треугольников.
1) Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
2) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
3) Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.

57. Отношение соответствующих линейных элементов подобных фигур равно коэффициенту подобия.

58. Замечательное свойство трапеции. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

59. Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

60. Произведение основания на высоту для данного треугольника постоянно.

61. Если BM и CN — высоты треугольника ABC (∠A $\ne$ 90◦), то треугольник AMN подобен треугольнику ABC, причем коэффициент подобия равен |cos ∠A|.

62. Произведения длин отрезков хорд AB и CD окружности, пересекающихся в точке E, равны, то есть |AE| · |EB| = |CE| · |ED|.

63. Теорема о касательной и секущей и следствие из нее.
1) Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной
2) Произведение всей секущей на ее внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.

64. Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.
1) Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету острого угла.
2) Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или котангенс прилежащего к этому катету острого угла.

65. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

66. Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат стороны тре-угольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник — прямоугольный.

67. Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.

68. Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.

69. Отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов r и R равен отрезку общей внутренней касательной, заключенному между общими внешними. Оба эти отрезка равны $2\sqrt{Rr}$.

70. Метрические соотношения в треугольнике.
1) Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
2) Следствие из теоремы косинусов. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
3) Формула для медианы треугольника. Если m — медиана треугольника, проведенная к стороне c, то $m=\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}/2$, где a и b —остальные стороны треугольника.
4) Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
5) Обобщенная теорема синусов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.

71. Формулы площади треугольника.
1) Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
2) Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
3) Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.
4) Площадь треугольника равна произведению трех его сторон, деленному на учетверенный радиус описанной окружности.
5) Формула Герона. $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ - полупериметр треугольника.

72. Элементы равностороннего треугольника со стороной a. Пусть h, S, r, R — высота, площадь, радиусы описанной и вписанной окружности равностороннего треугольника со стороной a. Тогда $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}, S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, R=\frac{a\sqrt{3}}{3}, r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

73. Формулы площади параллелограмма.
1) Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
2) Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними.
3) Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон.
4) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

74. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

75. Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

76. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

77. Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь равна произведению полупериметра многоугольника на радиус этой окружности.

78. Если M — точка на стороне BC треугольника ABC, то $\displaystyle\frac{S_{AMB}}{S_{AMC}}=\frac{BM}{CM}$

79. Если P и Q — точки на сторонах AB и AC (или на их продолжениях) треугольника ABC, то $\displaystyle\frac{S_{APQ}}{S_{ABC}}=\frac{AP}{AB}\cdot\frac{AQ}{AC}$

80. Длина окружности радиуса R равна 2πR.
81. Площадь круга радиуса R равна πR².

Литература:  Гордин Р.К., "Это должен знать каждый матшкольник"