Справочник. Производная функции и ее свойства

Производная функции

перейти к содержанию справочника

Правила дифференцирования

(C\cdot f(x))'=C\cdot f'(x)

(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)

(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)

\left(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\displaystyle\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}

(g(f(x)))'=g'(f(x))\cdot f'(x)

Производные элементарных функций

y=f(x) y=f'(x)
C 0
x 1
x^n nx^{n-1}
\sqrt{x} \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}
\displaystyle\frac{1}{x} -\displaystyle\frac{1}{x^2}
\sin x \cos x
\cos x -\sin x
tg x \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}
ctg x -\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x}
a^x a^x\ln a
\ln x \displaystyle\frac{1}{x}
\log_ax \displaystyle\frac{1}{x\ln a}
 e^x e^x
 \arcsin x  \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
 \arccos x -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
 arctg x \displaystyle\frac{1}{1+x^2}
arcctg x -\displaystyle\frac{1}{1+x^2}
 sh x ch x
 ch x sh x
 th x \displaystyle\frac{1}{ch^2 x}
 cth x -\displaystyle\frac{1}{sh^2 x}

Если функция y=f(x) имеет производную в точке x_0, то уравнение касательной в точке A(x_0; f(x_0)) имеет вид y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)

Для того чтобы дифференцируемая на (a;b) функция y=f(x) не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы f'(x)\geq 0 (f'(x)\leq 0) для всех x из интервала (a;b). Если же для любого x из (a;b) известно, что f'(x)>0 (f'(x)<0), то функция y=f(x) возрастает (убывает) на этом интервале.