Справочник по математике. Числа

содержание справочника

Запись натуральных чисел

Числа 1, 2, 3, 4, 5, ..., использующиеся для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными. Любое натуральное число в десятичной системе счисления записывается с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например, запись 5732 означает, что 5 - цифра тысяч, 7 - цифра сотен, 3 - цифра десятков и 2 - цифра единиц, то есть $5732 = 5\cdot 1000 + 7\cdot 100+3\cdot 10+2$.

Вообще, если $a$ - цифра тысяч, $b$ - цифра сотен, $c$ - цифра десятков, $d$ - цифра единиц, то имеем $a\cdot 1000+b\cdot 100 +c\cdot 10 + d$. Используется также сокращенная запись $\overline{abcd}$ (написать просто $abcd$ нельзя, поскольку такая запись означает произведение чисел a, b, c и d). В общей форме для $m$-значного числа $a_m$ справедлива запись $a_m=c_1\cdot 10^{m-1}+c_2\cdot 10^{m-2}+...+c_{m-1}\cdot 10 + c_m$, или $a_m=\overline{c_1c_2...c_{m-1}c_m}$, где $c_1,c_2,...,c_{m-1},c_m$ - цифры.

Арифметические действия над натуральными числами

Результатом сложения или умножения двух натуральных чисел всегда является натуральное число.

Если $a$ и $b$ - натуральные числа, то $s=a+b$  также натуральное число, $a$ и $b$ - слагаемые, $s$ - сумма.

Если $p=a\cdot b$, то $p$ также натуральное число, $a$ и $b$ - множители, $p$ - произведение.

Свойства

1) $a+b = b + a$  (переместительное свойство сложения)

2) $(a+b)+c=a+(b+c)$ (сочетательное свойство сложения)

3) $ab=ba$ (переместительное свойство умножения)

4) ($ab)c=a(bc)$ (сочетательное свойство умножения)

5) $a(b+c)=ab+ac$ (распределительное свойство умножения относительно сложения)

Эти свойства позволяют более эффективно находить значения арифметических выражений. Например, в задаче $13\cdot 12+13\cdot 8$ удобнее по свойству 5) перейти к виду $13\cdot(12+8)$.

В результате вычитания или деления натуральных чисел не всегда получается натуральное число.

Если $c=a-b$, то $a$ - уменьшаемое, $b$ - вычитаемое, $c$ - разность.

Если $c=a:b=\frac{a}{b}$, то $a$ - делимое, $b$ - делитель, $c$ - частное. 

Если $m=n\cdot k$, то говорят, что $m$ кратно $k$ (или $m$ делится на $k$) и $k$ является делителем числа $m$.

Порядок арифметических действий в числовом выражении: прежде всего выполняют действия в скобках. Внутри любых скобок сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Например, порядок действий для примера $(28\cdot 93 + (1920-1872)\cdot 99):6-920$ следующий: сначала $28\cdot 93$ и $1920-1872$, затем умножение на 99, затем сложение, затем деление на 6 и затем вычитание 920.