Студенческая олимпиада МФТИ 1994

Условия задач с ответами

1. 1994 окружности разбивают плоскость на области, границами которых являются дуги окружностей. Сколько цветов необходимо, чтобы раскрасить такую географическую карту?

2. Всегда ли будет связным множество, полученное из открытого единичного квадрата удалением счетного множества точек?

3. Найти все непрерывные функции $f:R\to R$, удовлетворяющие уравнению $3f(2x+1)=f(x)+5x$

4. На плоскости даны точки $A_1,A_2,A_3,A_4$, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведем две концентрические окружности: одну через точки $A_1,A_2,A_3$, а другую через точку $A_4$. Обозначим через $k(A_1,A_2,A_3,A_4)$ произведение площадей треугольника $A_1A_2A_3$ и получившегося кругового кольца. Доказать, что величина $k$ не зависит от нумерации точек: $k(A_1,A_2,A_3,A_4)=k(A_2,A_3,A_4,A_1)$ $=k(A_3,A_4,A_1,A_2)=k(A_4,A_1,A_2,A_3)$.

5.1 Пусть $C(\alpha)$ - коэффициент при $x^{1994}$ в разложении по формуле Маклорена функции $(1+x)^{\alpha}$. Вычислите $\int_{0}^{1}C(-y-1)(\displaystyle\frac{1}{y+1}+...+\frac{1}{y+1994})dy$.

5.2 Пусть $\varphi_1(x),...,\varphi_n(x)$ - ортонормированная на отрезке $[0;1]$ система непрерывных функций. Доказать, что хотя бы для одной функции $\varphi_i(i=1,...,n)$ справедливо неравенство $\sum_{k=1}^{n}(\int_{(k-1)/n}^{k/n}\varphi_i(x)dx)^2\le\displaystyle\frac{1}{n}$.

6.1 На плоскости дана парабола. Как с помощью циркуля и линейки построить ее ось?

6.2 Доказать, что дифференциальное уравнение $\sum_{k=0}^{n}c_kx^{k+1}(x^{k-1}y)^{(k)}=0$ сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью замены $t=x^{-1}$ и выписать это уравнение.

Ответы

1. 2

2. Всегда

3. $f(x)=x-3/2$

5.1 1994

к разделу Олимпиадные студенческие задачи