Студенческая олимпиада МФТИ 1995

Студенческая олимпиада МФТИ 1995

олимпиада

Условия задач с ответами

1.1 Может ли график непрерывной функции f:R\to R пересекать каждую невертикальную прямую бесконечное число раз?

1.2 Существует ли непрерывная при x>1 функция f, удовлетворяющая уравнению (x^2-x)(f(x^2)+f(x))=1?

2. Существует ли непрерывно дифференцируемая функция f:R\to R, удовлетворяющая условиям |f(x)|<2 и f(x)f'(x)\ge\sin x для любого x\in R?

3. Пусть f_1,...,f_n - линейно независимая система непрерывно дифференцируемых на отрезке [0;1] функций. Докажите, что среди произвольных f'_1,...,f'_n найдутся n-1 линейно независимых функций.

4. Найдите предел \lim_{n\to\infty}(\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{C_n^{k}})^n

5. Докажите, что при x^2+y^2+z^2=1 определитель матрицы \begin{pmatrix}1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\end{pmatrix} меньше 1.

6.1 Определите сумму двух множеств на евклидовой плоскости: A+B=\{x\in R^2|x=a+b,a\in A,b\in B\}. Пусть A=B_r(a)\cap B_r(-a), где B_r(a)=\{x\in R^2|||x-a||\le r\} - круг радиуса r>0 с центром в точке a, ||a||<r. Доказать, что найдутся такие точки b_1 и b_2, что A+((B_r(b_1)\cap B_r(b_2))=B_r(0).

6.2 Для множеств на комплексной плоскости определим операции сложения и умножения A+B=\{z\in C|z=a+b,a\in A,b\in B\}, A\cdot B=\{z\in C|z=ab,a\in A,b\in B\}. Пусть A=\{z||z|=\displaystyle\frac{1}{1995}\}. Найдите хотя бы одно решение уравнения A+X=A\cdot X, удовлетворяющее условию 0\notin X.

Ответы

1.1 Да

1.2. Да

2. Нет

4. e^2

6.2 Например, X=\{z||z|\ge\displaystyle\frac{1}{1994}\}

к разделу Олимпиадные студенческие задачи

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *