СУНЦ МГУ Экзамен по математике для физ-мат 10 класс 2017 Решение

МГУ

Условия задач смотрите по ссылке

Вариант 1

Задача 4

На катетах прямоугольного треугольника АВС (∠С=90о) во внешнюю сторону построены квадраты АКМС и ВСТР. Отрезок ВК пересекает катет АС в точке В1, отрезок АР пересекает катет ВС в точке А1. Найти угол А1В1С.

Решение

geosunc

Пусть KA = a, CB1 = x, PB = b. Тогда AB1 = a-x и A1B = b-y.

Треугольники KAB1 и CB1B подобны (по двум углам), тогда \frac{a}{b}=\frac{a-x}{x}, откуда \frac{a}{b}+1=\frac{a}{x}.

Треугольники ACA1 и A1BP подобны, тогда \frac{b}{a}=\frac{b-y}{y}, откуда \frac{b}{a}+1=\frac{b}{y}.

Разделим первое равенство на второе и упростим:

\frac{(a+b)a}{b(a+b)}=\frac{ay}{bx}, откуда 1=\frac{y}{x}, то есть y=x и треугольник CB1A1 прямоугольный и равнобедренный, то есть с острым углом в 45o.

Ответ: 45o