Текстовые задачи на числовые зависимости. Решение задач 5-7

Решение текстовых задач на числовые зависимости

числа

Задачи 5 - 7

Весь список текстовых задач на числовые зависимости здесь.

  1. Условие задачи: При каких натуральных n число m=\frac{3n^2+5n+2}{2n+3} также будет натуральным?
    Решение: Выделим целую часть рациональной дроби. Проще всего это сделать, если разделить числитель дроби на знаменатель "уголком". Получаем: m=\frac{3n}{2}+\frac{1}{4}+\frac{5}{4(2n+3)}. Для того чтобы избавиться от дробей в целой части, умножим обе части равенства на 4: 4m=6n+1+\frac{5}{2n+3}.
    Число 5 имеет делители \pm 1, \pm 5. Проверим случаи: а) 2n+3=-1, тогда n=-2 - не является натуральным числом. б) 2n+3=1, тогда n=-1 - не натуральное. в) 2n+3=-5, тогда n=-4 - не натуральное. г) 2n+1=5, тогда n=1 - натуральное, m=2 - натуральное.
    Ответ:
    1
  2. Условие задачи: При каких натуральных n дробь \frac{3n+5}{5n+2} сократима?
    Решение: Условие сократимости дает систему из уравнений: 5n+2=a\cdot k и 3n+5=a\cdot l, где a,k,l \in N, a\ne 1.
    Из первого уравнения n=\frac{ak-2}{5}. Подставим n во второе уравнение и получим, что 3\cdot \frac{ak-2}{5}-5=al.
    Приведем подобные слагаемые. Тогда a(5l-3k)=19. Так как справа стоит простое число 19, а слева произведение двух целых чисел, то или a=1, 5l-3k=19, или a=19,5l-3k=1. Первый случай невозможен, так как это означает, что исходная дробь несократима. Значит, дробь сокращается на 19. Осталось выяснить, при каких n это выполняется.
    Из второго уравнения следует, что k=\frac{5l-1}{3}. Далее выделим целую часть дроби: k=l+\frac{2l-1}{3}. Так как l,k\in N, то \frac{2l-1}{3} должно быть целым, то есть 2l-1 =3m, m\in N. Следовательно, l=\frac{3m+1}{2}=m+\frac{m+1}{2}. Рассуждая аналогично, имеем, что m+1=2p, p\in N, значит, m=2p-1. Итак, при m=2p-1p\in N, дробь \frac{3n+5}{5n+2} сократима. Однако в ответе нужно указать вид числа n. Так как m=2p-1, то l=2p-1+\frac{2p-1+1}{2}=3p-1. Значит, k=l+\frac{2l-1}{3}=5p-2 и n=\frac{ak-2}{5}=19p-8
    Ответ: при n=19p-8, p\in N
  3. Условие задачи: Сумма квадратов крайних чисел четырехзначного числа M равна 58. Сумма квадратов средних цифр этого числа равна 68. Сумма числа M и числа 4536 равна числу, записанному теми же цифрами числа М, но в обратном порядке. Найдите число M.
    Решение: Пусть число имеет вид \overline{abcd}. Тогда a^2+d^2=58c^2+b^2=68. И a\cdot 1000+b\cdot 100+c\cdot 10+d+4356 =d\cdot 1000+c\cdot 100+b\cdot 10+a. Складывая числа в разряде единиц, слева получим два возможных варианта: d+6=a (если d+6<10) или d+6=10+a (если d+6\geq 10). В первом случае получаем, что (d+6)^2+d^2=58 и d=-3\pm\sqrt{20} - не целое. Во втором случае: d=4+a и a^2+(4+a)^2=58, откуда a=3. Тогда d=7.
    Аналогично c+3+1=b или c+3+1=10+b. В первом случае получаем, что c^2+(c+4)^2=68 и c=-2\pm\sqrt{30} - не подходит. Во втором случае (b+6)^2+b^2=68 и b=2, c=8.

    Ответ: 3287