Решение текстовых задач на числовые зависимости

Задачи 5 - 7

Весь список текстовых задач на числовые зависимости здесь.

5. Условие задачи: При каких натуральных $n$ число $m=\frac{3n^2+5n+2}{2n+3}$ также будет натуральным?
   Решение: Выделим целую часть рациональной дроби. Проще всего это сделать, если разделить числитель дроби на знаменатель "уголком". Получаем: $m=\frac{3n}{2}+\frac{1}{4}+\frac{5}{4(2n+3)}$. Для того чтобы избавиться от дробей в целой части, умножим обе части равенства на 4: $4m=6n+1+\frac{5}{2n+3}$.
   Число 5 имеет делители $\pm 1, \pm 5$. Проверим случаи: а) $2n+3=-1$, тогда $n=-2$ - не является натуральным числом. б) $2n+3=1$, тогда $n=-1$ - не натуральное. в) $2n+3=-5$, тогда $n=-4$ - не натуральное. г) $2n+1=5$, тогда $n=1$ - натуральное, $m=2$ - натуральное.
   Ответ: 1
6. Условие задачи: При каких натуральных $n$ дробь $\frac{3n+5}{5n+2}$ сократима?
   Решение: Условие сократимости дает систему из уравнений: $5n+2=a\cdot k$ и $3n+5=a\cdot l$, где $a,k,l \in N, a\ne 1$.
   Из первого уравнения $n=\frac{ak-2}{5}$. Подставим $n$ во второе уравнение и получим, что $3\cdot \frac{ak-2}{5}-5=al$.
   Приведем подобные слагаемые. Тогда $a(5l-3k)=19$. Так как справа стоит простое число 19, а слева произведение двух целых чисел, то или $a=1, 5l-3k=19$, или $a=19,5l-3k=1$. Первый случай невозможен, так как это означает, что исходная дробь несократима. Значит, дробь сокращается на 19. Осталось выяснить, при каких $n$ это выполняется.
   Из второго уравнения следует, что $k=\frac{5l-1}{3}$. Далее выделим целую часть дроби: $k=l+\frac{2l-1}{3}$. Так как $l,k\in N$, то $\frac{2l-1}{3}$ должно быть целым, то есть $2l-1 =3m, m\in N$. Следовательно, $l=\frac{3m+1}{2}=m+\frac{m+1}{2}$. Рассуждая аналогично, имеем, что $m+1=2p, p\in N$, значит, $m=2p-1$. Итак, при $m=2p-1$, $p\in N$, дробь $\frac{3n+5}{5n+2}$ сократима. Однако в ответе нужно указать вид числа $n$. Так как $m=2p-1$, то $l=2p-1+\frac{2p-1+1}{2}=3p-1$. Значит, $k=l+\frac{2l-1}{3}=5p-2$ и $n=\frac{ak-2}{5}=19p-8$
   Ответ: при $n=19p-8$, $p\in N$
7. Условие задачи: Сумма квадратов крайних чисел четырехзначного числа M равна 58. Сумма квадратов средних цифр этого числа равна 68. Сумма числа M и числа 4536 равна числу, записанному теми же цифрами числа М, но в обратном порядке. Найдите число M.
   Решение: Пусть число имеет вид $\overline{abcd}$. Тогда $a^2+d^2=58$, $c^2+b^2=68$. И $a\cdot 1000+b\cdot 100+c\cdot 10+d+4356$ $=d\cdot 1000+c\cdot 100+b\cdot 10+a$. Складывая числа в разряде единиц, слева получим два возможных варианта: $d+6=a$ (если $d+6<10$) или $d+6=10+a$ (если $d+6\geq 10$). В первом случае получаем, что $(d+6)^2+d^2=58$ и $d=-3\pm\sqrt{20}$ - не целое. Во втором случае: $d=4+a$ и $a^2+(4+a)^2=58$, откуда $a=3$. Тогда $d=7$.
   Аналогично $c+3+1=b$ или $c+3+1=10+b$. В первом случае получаем, что $c^2+(c+4)^2=68$ и $c=-2\pm\sqrt{30}$ - не подходит. Во втором случае $(b+6)^2+b^2=68$ и $b=2, c=8$.
   Ответ: 3287