Решение текстовых задач на движение

Задачи 10 - 13

Весь список текстовых задач на движение здесь.

10. Условие задачи: Пункт В находится по реке ниже пункта А. В одно и то же время из пункта А отплыли плот и первая моторная лодка, а из пункта В - вторая моторная лодка. Через некоторое время лодки встретились в пункте С, а плот за это время проплыл третью часть пути от А до С. Если бы первая лодка без остановки доплыла до пункта В, то плот за это время прибыл бы в пункт С. Если бы из пункта А в пункт В отплыла вторая лодка, а из пункта В в пункт А - первая лодка, то они встретились бы в 40 км от пункта А. Какова скорость обеих лодок в стоячей воде, а также расстояние между пунктами А и В, если скорость течения реки равна 3 км/ч?
    Решение: Пусть $S$ - расстояние между A и B, $v_1$ и $v_2$ - скорости первой и второй лодок в стоячей воде соответственно.  За время, которое понадобится первой лодке, чтобы доплыть до С (скорость лодки по течению равна $v_1+u$, где $u$ - скорость течения реки), плот проплывает только третью часть, то есть скорость лодки в 3 раза больше скорости реки. Отсюда $v_1+u=3u$ и $v_1=6$.
    Если первая и вторая лодки отправляются одновременно из А и В (безразлично, какая откуда начинает движение), то время встречи равно $t=\displaystyle\frac{S}{(v_1+u)+(v_2-u)}=\frac{S}{(v_1-u)+(v_2+u)}=\frac{S}{v_1+v_2}$. Значит, $AC = \displaystyle\frac{S}{v_1+v_2}\cdot(v_1+u)=\frac{9S}{v_1+v_2}$. Время, за которое плот доберется до С, равно $\displaystyle\frac{AC}{3}=\frac{6S}{6+v_2}$. За это же время первая лодка проплывет до В, то есть $\displaystyle\frac{3S}{6+v_2}\cdot (v_1+u)=S$ или $27=6+v_2$, откуда $v_2=21$ км/ч.
    Если вторая лодка начинает движение из А, а первая - из В, то их встреча произойдет в 40 км от пункта А. Поэтому $\displaystyle\frac{40}{v_2+u}=t$ или $\displaystyle\frac{40}{v_2+u}=\frac{S}{v_1+v_2}$, то есть $S=\displaystyle\frac{40(v_1+v_2)}{v_2+u}=\frac{40(6+21)}{21+3}=45$ км
    Ответ: 6 км/ч; 21 км/ч; 45 км
11. Условие задачи: Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 112 мин, а двигаясь в противоположных направлениях - через каждые 16 мин. Во втором случае расстояние между телами уменьшилось с 40 м до 26 м за 12 с. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности?
    Решение: Обратим внимание, что необходимо привести размерности величин к одному виду, например, к минутам. Пусть $S$ - длина окружности, $v_1$, $v_2$ - скорости тел. Тогда $\displaystyle\frac{S}{v_1-v_2}=112$ и $\displaystyle\frac{S}{v_1+v_2}=16$. Так как за 12 с = 1/5 мин тела сблизились на 40 - 26 = 14 м, то $\displaystyle\frac{v_1}{5}+\frac{v_2}{5}=14$, откуда $v_1+v_2=70$. Из первых двух уравнений получаем, что $S=112(v_1-v_2)=16(v_1+v_2)$, откуда $v_2=\frac{3v_1}{4}$. Далее легко находятся все неизвестные величины.
    Ответ: 1120 м; 40 м/мин, 30 м/мин
12. Условие задачи: Две точки, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются каждые 12 мин, причем первая обходит окружность на 10 с быстрее, чем вторая. Какую часть окружности проходит за 1 с каждая точка?
    Решение: Пусть длина окружности равна $S$, $v_1$, $v_2$ - скорости точек. Тогда $\displaystyle\frac{S}{v_1-v_2}=720$, откуда $1=720\displaystyle(\frac{v_1}{S}-\frac{v_2}{S})$. Так как первая точка обходит окружность за $\frac{S}{v_1}$, а вторая за $\frac{S}{v_2}$, то $\displaystyle\frac{S}{v_2}-\frac{S}{v_1}=10$. Обозначим за $x=\frac{S}{v_1}$, $y=\frac{S}{v_2}$. Тогда $y-x=10$ и $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{720}$. Подставив $y=10+x$ во второе уравнение, получим квадратное уравнение $x^2+10x-7200=0$, откуда $x=80$ (второй корень отрицателен). Тогда $y=90$.
    Ответ: 1/80 и 1/90 части окружности
13. Условие задачи: Два тела движутся навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми 390 м. Первое тело прошло в первую секунду 6 м, а в каждую последующую секунду проходило на 6 м больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/c и начало движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться первое тело, они встретятся?
    Решение: Первое тело двигалось равноускоренно. Поэтому для $t=1$ имеем $6=v_0+\frac{a}{2}$, для $t=2$ имеем $18=2v_0+2a$, то есть $9=v_0+a$. Здесь мы воспользовались формулами для равноускоренного движения. Из этих уравнений находим, что $v_0=3$ м/c, $a=6$ м/c². Поэтому тело движется по закону $s=3(t+t^2)$. Пусть $t_0$ - момент времени, в который две точки встретятся. Первая пройдет за это время расстояние $s_1=3(t_0+t_0^2)$, а вторая - $s_2=12(t_0-5)$, так как она движется равномерно и начала движение через 5 с после первой. Из условия $s_1+s_2=390$ получим, что $3(t_0+t_0^2)+12(t_0-5)=390$, откуда $t_0^2+5t_0-150=0$ и $t_0=10$ c.
    Ответ: 10 с