Решение текстовых задач на проценты

Задачи 5, 7 и 14

Весь список текстовых задач на проценты здесь.

5. Условие задачи: За первый квартал автозавод выполнил 25% годового плана выпуска машин. Количество машин, выпущенных за второй, третий и четвертый кварталы, оказалось пропорциональным числам 15, 16 и 18. Определить перевыполнение годового плана выпуска в процентах, если во втором квартале автозавод выпустил продукции на 8% больше, чем в первом.
   Решение: Пусть $x,y,u,v$ - количество машин, выпущенных соответственно за первый, второй, третий и четвертый кварталы. Если $A$ - годовой план выпуска машин, то $x=0,25A$, $y:u:v=15:16:18$ и $y=1,08x=0,27A$. Получаем пропорции: $\frac{y}{u}=\frac{15}{16}$ и $\frac{y}{v}=\frac{15}{18}$. Откуда $u=\frac{16}{15}\cdot 0,27A=0,288A$ и $v=\frac{6}{5}\cdot 0,27A=0,324A$. Тогда количество машин, выпущенных за четыре квартала, равно $x+y+u+v=0,25A+0,27A+0,288A+0,324A=1,132A$. Значит, годовой план перевыполнен на 13,2%.
   Ответ: 13,2 %
7. Условие задачи: Банк выделил определенную сумму денег на кредиты трем организациям сроком на год. Организация A получила кредит в размере 40% от выделенной суммы под 30% годовых, организация B — 40% от оставшейся суммы под 15% годовых. Последнюю часть выделенной суммы получила организация C. Через год, когда кредиты были погашены, оказалось, что банк получил прибыль в размере 21%. Под какие проценты был выдан кредит организации C?
   
   Решение: Пусть S - сумма, выделенная банком на кредиты организациям А, В и С, $\alpha$ - проценты (в долях), под которые был выдан кредит организации С. Тогда организации А был выделен кредит в размере 0,4S, который через год принес банку прибыль, равную $0,4S\cdot 0,3=0,12S$.
   Организации В был выделен кредит в размере $(S-0,4S)\cdot 0,4=0,24S$, который через год принес банку прибыль, равную $0,24S\cdot 0,15=0,036S$.
   Организации С был выделен кредит в размере $S-0,4S-0,24S=0,36S$, который через год принес банку прибыль, равную $0,36S\alpha$. Суммарная прибыль равна $0,156S+0,36\alpha$ и она равна также $0,12S$. Получаем уравнение, из которого $\alpha=0,15$.
   Ответ: 15%
14. Условие задачи: Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же количество процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое количество процентов. В результате получили 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали данное число?
    
    Решение: Пусть данное число увеличивали, а затем уменьшали на $p$%. Тогда по формуле сложных процентов получаем уравнение: $51,2(1+\frac{p}{100})^3(1-\frac{p}{100})^3=21,6$, то есть $512(1-(\frac{p}{100})^2)^3=216$. Извлекаем кубический корень из обеих частей уравнения, получаем $8(1-(\frac{p}{100})^2)=6$, откуда $p=0,5$.
    Ответ: на 50%