Текстовые задачи на проценты. Решение задач 5, 7 и 14

Решение текстовых задач на проценты

Проценты

Задачи 5, 7 и 14

Весь список текстовых задач на проценты здесь.

  1. Условие задачи: За первый квартал автозавод выполнил 25% годового плана выпуска машин. Количество машин, выпущенных за второй, третий и четвертый кварталы, оказалось пропорциональным числам 15, 16 и 18. Определить перевыполнение годового плана выпуска в процентах, если во втором квартале автозавод выпустил продукции на 8% больше, чем в первом.
    Решение: 
    Пусть x,y,u,v - количество машин, выпущенных соответственно за первый, второй, третий и четвертый кварталы. Если A - годовой план выпуска машин, то x=0,25Ay:u:v=15:16:18 и y=1,08x=0,27A. Получаем пропорции: \frac{y}{u}=\frac{15}{16} и \frac{y}{v}=\frac{15}{18}. Откуда u=\frac{16}{15}\cdot 0,27A=0,288A и v=\frac{6}{5}\cdot 0,27A=0,324A. Тогда количество машин, выпущенных за четыре квартала, равно x+y+u+v=0,25A+0,27A+0,288A+0,324A=1,132A. Значит, годовой план перевыполнен на 13,2%.
    Ответ: 13,2 %
  2. Условие задачи: Банк выделил определенную сумму денег на кредиты трем организациям сроком на год. Организация A получила кредит в размере 40% от выделенной суммы под 30% годовых, организация B — 40% от оставшейся суммы под 15% годовых. Последнюю часть выделенной суммы получила организация C. Через год, когда кредиты были погашены, оказалось, что банк получил прибыль в размере 21%. Под какие проценты был выдан кредит организации C?

    Решение:
    Пусть S - сумма, выделенная банком на кредиты организациям А, В и С, \alpha - проценты (в долях), под которые был выдан кредит организации С. Тогда организации А был выделен кредит в размере 0,4S, который через год принес банку прибыль, равную 0,4S\cdot 0,3=0,12S.
    Организации В был выделен кредит в размере (S-0,4S)\cdot 0,4=0,24S, который через год принес банку прибыль, равную 0,24S\cdot 0,15=0,036S.
    Организации С был выделен кредит в размере S-0,4S-0,24S=0,36S, который через год принес банку прибыль, равную 0,36S\alpha. Суммарная прибыль равна 0,156S+0,36\alpha и она равна также 0,12S. Получаем уравнение, из которого \alpha=0,15.
    Ответ: 15%
  3. Условие задачи: Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же количество процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое количество процентов. В результате получили 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали данное число?

    Решение: 
    Пусть данное число увеличивали, а затем уменьшали на p%. Тогда по формуле сложных процентов получаем уравнение: 51,2(1+\frac{p}{100})^3(1-\frac{p}{100})^3=21,6, то есть 512(1-(\frac{p}{100})^2)^3=216. Извлекаем кубический корень из обеих частей уравнения, получаем 8(1-(\frac{p}{100})^2)=6, откуда p=0,5.
    Ответ: на 50%