Задачи на числовые зависимости с решениями

перейти к содержанию курса текстовых задач

1. Найти двузначное число, зная, что число его единиц на 2 больше числа десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144. Решение
2. Ученику надо было умножить 78 на двузначное число, в котором цифра десятков втрое больше цифры единиц; по ошибке он переставил цифры во втором сомножителе, отчего и получил произведение, на 2808 меньшее истинного. Чему равно истинное произведение? Решение
3. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти искомое двузначное число. Решение
4. Остаток от деления натурального числаnна 12 равен 5; остаток от деления n на 16 равен 9. Чему равен остаток от деления наименьшего из возможных чисел n на 24?
5. При каких натуральных $n$ число $m=\frac{3n^2+5n+2}{2n+3}$ также будет натуральным? Решение
6. При каких натуральных $n$ дробь $\frac{3n+5}{5n+2}$ сократима? Решение
7. Сумма квадратов крайних чисел четырехзначного числа M равна 58. Сумма квадратов средних цифр этого числа равна 68. Сумма числа M и числа 4536 равна числу, записанному теми же цифрами числа М, но в обратном порядке. Найдите число M. Решение
8. Запись шестизначного числа начинается цифрой 2. Если эту цифру перенести с первого места на последнее, сохранив порядок остальных пяти цифр, то новое число будет втрое больше первоначального. Найти первоначальное число.
9. Докажите, что $1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ при любом натуральном $n$
10. Ученик должен был перемножить два трехзначных числа. Однако он не заметил знака умножения и принял оба рядом стоящих множителя за одно шестизначное число. Поэтому получившееся ошибочное число оказалось в 3 раза больше истинного произведения. Какие числа должен был перемножить ученик?
11. Знаменатель несократимой дроби на 2 больше, чем числитель. Если у дроби, обратной данной, уменьшить числитель на 3 и вычесть из этой новой дроби заданную, то получится $\frac{1}{15}$. Найти первоначальную дробь.

Задачи для самостоятельного решения

1. Сумма двух чисел, умноженная на сумму квадратов этих чисел, равна 369, а разность их, умноженная на разность их квадратов, равна 9. Найдите числа. Ответ: 5 и 4
2. Число 128 представлено в виде суммы четырех слагаемых так, что первое слагаемое относится ко второму как 2:3, второе к третьему - как 3:5, а третье к четвертому - как 5:6. Найдите эти слагаемые. Ответ: 16, 24, 40, 48
3. Числитель несократимой дроби на 1 меньше, чем ее знаменатель. Если умножить числитель на 6, а знаменатель увеличить на 19, то получится дробь, обратная исходной. Найдите произведение числителя и знаменателя исходной дроби. Ответ: 36
4. После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке 6. После деления этого числа на произведение его цифр в частном получается 3, а в остатке 11. Найти это число. Ответ:  83
5. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3 и в остатке получится 3. Найдите это число, если разность квадратов его цифр по модулю в 2 раза больше квадрата разности его цифр. Ответ: 39
6. Первое число при делении на второе дает в частном 2 и в остатке 3. Второе при делении на третье дает в частном 1  и в остатке 8. Третье число при делении на четвертое дает в частном 2 и в остатке 1. Найдите эти четыре числа, если их сумма равна 76. Ответ: 41, 19, 11, 5
7. Сумма двух чисел равна 17, а сумма их кубов равна 1547. Найдите большее из этих чисел. Ответ: 11
8. Сумма двух чисел равна 495. Одно из них оканчивается нулем. Если его убрать, то получится второе число. Найдите эти числа. Ответ: 450, 45
9. Задумано натуральное число. К его записи присоединили справа цифру 7 и из полученного нового числа вычли квадрат задуманного числа. Результат уменьшили на 75% и еще раз вычли задуманное число. В итого получился нуль. Найдите задуманное числа. Ответ: 7
10.  Первая цифра трехзначного числа равна 8. Если эту цифру поставить на последнее место, то число увеличится на 18. Найдите исходное натуральное число. Ответ: 890
11. Задано некоторое двузначное число, кратное 3. Если между его цифрами вставить нуль и к полученному трехзначному числу прибавить удвоенную цифру его сотен, то получится число, которое в 9 раз больше, чем исходное двузначное число. Найдите это двузначное число. Ответ: 69
12. Разность двух чисел равна 48, а разность между средним арифметическим и средним геометрическим этих чисел равна 18. Найти эти числа. Ответ: 49 и 1
13. Если двузначное число разделить на число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то в частном получится 4, а в остатке 15. Если же из данного числа вычесть 9, то получится сумма квадратов цифр, использованных для записи этого числа. Найти это число. Ответ: 91