Текстовые задачи. Задачи на исследование решений

перейти к содержанию курса текстовых задач

1. Пункт B находится на расстоянии 60 км от прямолинейной железной дороги. Расстояние по железной дороге от пункта A до ближайшей к пункту B точки C составляет 285 км. На каком расстоянии от точки C надо построить станцию, чтобы затрачивать наименьшее время на передвижение между пунктами A и B, если скорость движения по железной дороге равна 52 км/ч, а скорость движения по шоссе равна 20 км/ч? Решение

2. В контейнер упакованы изделия двух типов. Стоимость изделия первого типа равна 150 р., второго типа — 300 р. Масса одного изделия первого типа равна 6 кг, второго — 11 кг. Общая масса равна 106 кг. Определить  минимально возможную суммарную стоимость изделий, находящихся в контейнере. Решение

3. Школьник затратил некоторую сумму на покупку портфеля, авторучки и книги. Если бы портфель стоил в 5 раз дешевле, авторучка — в 2 раза дешевле, а книга—в 2,5 раза дешевле, то такая покупка стоила бы 80 р. Если бы по сравнению с первоначальной стоимостью портфель стоил в 2 раза дешевле, авторучка—в 4 раза дешевле, а книга—в 3 раза дешевле, то за ту же покупку школьник заплатил бы 120 р. Сколько стоит покупка и за что было уплачено больше: за портфель или за авторучку? Решение

4. Катер проходит по реке и возвращается обратно со скоростью, равной его собственной скорости. В каком случае на это передвижение потребуется больше времени: по реке с более быстрым или более медленным течением? Решение

5. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью 294 м² и затем разделить этот участок забором на две равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей?
6. От потолка комнаты вертикально вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одной и той же скоростью, а вторая, хотя и поднималась вдвое медленнее первой, спускалась вдвое быстрее. Какая из мух быстрее приползет обратно? Решение
7. В первенстве школы по футболу каждая команда сыграла с каждой другой командой по одному разу. За победу в игре присуждается 2 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0 очков. Известно, что наибольшее число очков набрала одна команда, но она одержала меньше побед, чем любая другая. При каком наименьшем числе команд-участниц это возможно? Решение
8. В однокруговом хоккейном турнире все команды набрали разное число очков. (В хоккее за победу дается 2 очка, за ничью 1 очко и за поражение 0 очков.) Оказалось, что команда, занявшая последнее место, выиграла не менее 25 % своих матчей, а команда, занявшая второе место, выиграла не более 40 % своих матчей. Какое наибольшее количество команд могло участвовать в этом турнире?  Решение
9. Бригада рабочих выполняет задание за 42 дня. Если бы в бригаде было на 4 человека больше и каждый рабочий бригады работал бы на 1 час в день дольше, то это же задание было бы выполнено не более чем за 30 дней. При увеличении бригады еще на 6 человек и рабочего дня еще на 1 час все задание было бы закончено не ранее чем через 21 день. Определите наименьшую при данных условиях численность бригады, а также продолжительность рабочего дня. Решение

Задачи для самостоятельного решения

1. Будем считать, что расходы на топку парохода пропорциональны кубу его скорости.Известно, что при скорости 15 км/ч расходы на топливо составляют 1,5 т угля в час по цене 18 р., а остальные расходы (не зависящие от скорости) составляют 16 р. в час. Найти наименьшую стоимость прохождения пароходом пути в 2000 км. Ответ: 4800 р
2. Число 180 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:2, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим. Ответ: 60, 40 и 80
3. Имеется два слитка сплавов меди и олова. Первый весит 3 кг и содержит 40% меди, второй весит 7 кг и содержит 30% меди. Какой массы нужно взять куски этих сплавов, чтобы после их совместной переплавки получить 8 кг сплава, содержащего $r$ % меди? Найдите все значения $r$, при которых задача имеет решение. Ответ: [31,25; 33,75]
4. В две бочки налиты солевые растворы, причем в первую бочку налито 16 кг, а во вторую - 25 кг. Оба раствора разбавили водой так, что процентное содержание соли уменьшилось в $m$ раз в первой бочке и в $n$ раз во второй бочке. Известно, что $mn=m+n+3$. Найдите наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки. Ответ: 80 кг
5. Русла двух рек представляют параболу $y=x^2$ и прямую $x-y-2=0$. Требуется соединить эти реки прямолинейным каналом наименьшей длины. Найдите эту длину. Ответ: $7\sqrt{2}/8$
6. Пункт А находится в поле на расстоянии 10 км от дороги. На дороге, которая является прямой линией, стоит пункт В. Скорость движения автомобиля по дороге в $\frac{13}{12}$ раз больше, чем по полю. Известно, что если ехать из А в В так, что часть пути пройдет по дороге, то даже при самом удачном выборе пути движения на это потребуется не меньше времени, чем если ехать напрямик по полю. Найдите максимально возможное расстояние между А и В. Ответ: 26 км
7. Расстояние между городами А и В равно 36 км. Из А со скоростью 6 км/ч вышел пешеход. Одновременно на встречу ему из города В выехал велосипедист. Велосипедист едет со скоростью от 10 км/ч до 15 км/ч. После встречи велосипедист в течение 20 мин продолжал движение по направлению к А, затем развернулся и поехал в В. Найдите наименьшую возможную разницу во времени прибытия в В велосипедиста и пешехода. Ответ: 40 мин