Теория чисел

Задачи 121-140

вернуться к содержанию

121. Докажите, что для любых целых чисел $a$ и $b$ число $a^2+b^2$ делится на 3 тогда и только тогда, когда оба числа $a$ и $b$ делятся на 3.
122. Докажите, что какими бы ни были целые числа $a$ и $b$, хотя бы одно из чисел $a$, $b$, $a+b$, $a-b$, $2a+b$, $2a-b$ делится на 5.
123. Докажите, что среди семи натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию с разностью 30, ровно одно делится на 30.
124. Докажите, что если $a^2+b^2$ делится на 7, то $a^2+b^2$ делится на 49.
125. Докажите, что если $a^3+b^3+c^3$ делится на 7, то одно из чисел $a, b, c$ делится на 7.
126. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде суммы квадратов двух целых чисел.
127. Докажите, что число вида $a(a+1)(2a+1)$ при любом целом $a$ делится на 6
128. Докажите, что если числа $a$ и $b$ не делятся на 3, но дают одинаковые остатки при делении на 3, то число $ab-1$ делится на 3. Обратно, если $ab-1$ делится на 3, то числа $a$ и $b$ не делятся на 3 и дают одинаковые остатки при делении на 3.
129. Докажите, что если числа $a$ и $b$ не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3, то число $ab+1$ делится на 3. Обратно, если $ab+1$ делится на 3, то числа $a$ и $b$ не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3.
130. Докажите, что если $m$ и $n$ - нечетные числа, то число $m^2-n^2$ делится на 8.
131. Докажите, что квадрат нечетного числа, уменьшенный на 1, делится на 8.
132. Докажите, что сумма квадратов двух последовательных целых чисел, уменьшенная на 1, делится на 4.
133. Докажите, что при любом нечетном $n$ число $n^3-n$ делится на 24.
134. Докажите, что для того чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра делилась на 2.
135. Докажите, что для того что число делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы число, записываемое его двумя последними цифрами, делилось на 4.
136. Докажите, что для того чтобы число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа была 0 или 5.
137. Докажите, что для того чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы число, записываемое его тремя последними цифрами, делилось на 8.
138. Докажите, что для того чтобы число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была 0.
139. Докажите, что для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.
140. Докажите, что при любых неотрицательных целых $n$ число $3^{2n+2}+8n-9$ делится на 16