Теория чисел

Задачи 201-220

вернуться к содержанию

201. Последовательность $(x_n)$ задана формулами $x_1=x_2=1$ и $x_{n+2}=x_{n+1}^2+x_n^2$, если $n>0$. Делится ли $x_{2003}$ на 7?
202. Последовательность $(x_n)$ задана формулами $x_1=1, x_2=2$ и $x_{n+1}=x_n\cdot x_{n-1}+1$, если $n>2$. Докажите, что ни одно из чисел этой последовательности не делится на 4.
203. Докажите, что для любого целого $n$ либо $n^3-n$, либо $n^3+n$ делится на 10
204. Докажите, что если $n$ нечетно, то $n^5+5n^4-n-5$ делится на 80.
205. Докажите, что $ab(a^6-b^6)$ делится на 42 при любых целых $a$ и $b$
206. Докажите, что среди любых $n+1$ натуральных чисел найдутся два, разность которых делится на $n$
207. Докажите, что для любого целого числа $a$ в последовательности $a, a+1, ..., a+(n-1)$ ровно одно из чисел делится на $n$
208. Докажите, что для любого нечетного $a$ найдется такое натуральное $n$, что $2^n-1$ делится на $a$
209. Докажите, что наименьшее число, взаимно простое с числами 2, 3, ..., $n$, просто
210. Докажите, что для любого натурального $n$ найдется такое натуральное $x$, что число $nx+1$ составное
211. Докажите, что если число, являющееся квадратом некоторого целого числа, делится на простое число $p$, то оно должно делиться и на число $p^2$
212. При каких целых $n$ число $n^2-7n+10$ является простым?
213. При каких целых $n$ число $n^4+n^2+1$ является простым?
214. Про три простых числа известно, что одно из них является разностью кубов двух других. Какие это числа?
215. Докажите, что если $a^n-1$ - простое число, то $a=2$ и $n$ - простое число
216. Докажите, что если $2^m+1$ - простое число, то $m=2^n$ для некоторого целого неотрицательного $n$
217. Найдите все простые числа $p$ такие, что числа $p+2$ и $p+4$ также простые
218. Какие остатки при делении на 6 может иметь простое число, большее 3?
219. Докажите, что если $p$ и $2p+1$ - простые число, большие 6, то число $4p+1$ составное
220. Известно, что числа $p, p+10, p+14$ - простые. Найдите $p$.