Теория чисел. Задачи 201-220

Теория чисел

Задачи 201-220

теория чисел

вернуться к содержанию

  1. Последовательность (x_n) задана формулами x_1=x_2=1 и x_{n+2}=x_{n+1}^2+x_n^2, если n>0. Делится ли x_{2003} на 7?
  2. Последовательность (x_n) задана формулами x_1=1, x_2=2 и x_{n+1}=x_n\cdot x_{n-1}+1, если n>2. Докажите, что ни одно из чисел этой последовательности не делится на 4.
  3. Докажите, что для любого целого n либо n^3-n, либо n^3+n делится на 10
  4. Докажите, что если n нечетно, то n^5+5n^4-n-5 делится на 80.
  5. Докажите, что ab(a^6-b^6) делится на 42 при любых целых a и b
  6. Докажите, что среди любых n+1 натуральных чисел найдутся два, разность которых делится на n
  7. Докажите, что для любого целого числа a в последовательности a, a+1, ..., a+(n-1) ровно одно из чисел делится на n
  8. Докажите, что для любого нечетного a найдется такое натуральное n, что 2^n-1 делится на a
  9. Докажите, что наименьшее число, взаимно простое с числами 2, 3, ..., n, просто
  10. Докажите, что для любого натурального n найдется такое натуральное x, что число nx+1 составное
  11. Докажите, что если число, являющееся квадратом некоторого целого числа, делится на простое число p, то оно должно делиться и на число p^2
  12. При каких целых n число n^2-7n+10 является простым?
  13. При каких целых n число n^4+n^2+1 является простым?
  14. Про три простых числа известно, что одно из них является разностью кубов двух других. Какие это числа?
  15. Докажите, что если a^n-1 - простое число, то a=2 и n - простое число
  16. Докажите, что если 2^m+1 - простое число, то m=2^n для некоторого целого неотрицательного n
  17. Найдите все простые числа p такие, что числа p+2 и p+4 также простые
  18. Какие остатки при делении на 6 может иметь простое число, большее 3?
  19. Докажите, что если p и 2p+1 - простые число, большие 6, то число 4p+1 составное
  20. Известно, что числа p, p+10, p+14 - простые. Найдите p.