Теория чисел

Задачи 221-240

вернуться к содержанию

221. Известно, что числа $p$ и $8p^2+1$ - простые. Найдите $p$
222. Известно, что числа $p, 2p+1, 4p+1$ - простые. Найдите $p$
223. Найдите все такие простые числа $p$, что число $2p^2+1$ также простое.
224. Докажите, что число $n^3-n+3$ составное для любого натурального $n>1$
225. Найдите все такие простые числа $p$, что числа $4p^2+1$ и $6p^2+1$ также простые
226. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 либо является простым числом, либо равен 1
227. Докажите, что если \((n-1)\) не делится на $n$, то либо $n=4$, либо $n$ - простое число
228. Пусть $n>2$. Докажите, что произведение всех простых чисел, не превосходящих $n$, больше $n$
229. Докажите, что если $n>2$, то между числами $n$ и \(n\) есть простое число.
230. Докажите, что если число $n$ - составное, то число $2^n-1$ тоже составное
231. Докажите, что квадрат простого числа, большего трех, дает остаток 1 при делении на 12
232. Докажите, что для любого натурального числа $k$ в натуральном ряду можно найти $k$ идущих подряд составных чисел
233. Найдите простое число $p$, если число $13p+1$ является кубом некоторого натурального числа.
234. Докажите, что сумма $n>1$ последовательных нечетных чисел является составным числом
235. Докажите, что если $p$ - простое число, то число $C_p^i$ при $0<i<p$ делится на $p$. Верно ли это утверждение, если число $p$ не является простым?
236. Докажите, что число вида $n^4+4$, $n\in N, n>1$ всегда составное.
237. Обозначим через $p_n$ n-ое по порядку простое число. Докажите, что $p_n\ge 2n$
238. Пусть $p$ - простое число. Докажите, что единственным решением в целых числах уравнения $x^3+py^3+p^2z^3=0$ является $x=y=z=0$
239. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел, дающих при делении на 3 остаток 2.
240. Докажите, что простых чисел вида $4k-1$ бесконечно много.