Теория чисел. Задачи 221-240

Теория чисел

Задачи 221-240

теория чисел

вернуться к содержанию

  1. Известно, что числа p и 8p^2+1 - простые. Найдите p
  2. Известно, что числа p, 2p+1, 4p+1 - простые. Найдите p
  3. Найдите все такие простые числа p, что число 2p^2+1 также простое.
  4. Докажите, что число n^3-n+3 составное для любого натурального n>1
  5. Найдите все такие простые числа p, что числа 4p^2+1 и 6p^2+1 также простые
  6. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 либо является простым числом, либо равен 1
  7. Докажите, что если \((n-1)\) не делится на n, то либо n=4, либо n - простое число
  8. Пусть n>2. Докажите, что произведение всех простых чисел, не превосходящих n, больше n
  9. Докажите, что если n>2, то между числами n и \(n\) есть простое число.
  10. Докажите, что если число n - составное, то число 2^n-1 тоже составное
  11. Докажите, что квадрат простого числа, большего трех, дает остаток 1 при делении на 12
  12. Докажите, что для любого натурального числа k в натуральном ряду можно найти k идущих подряд составных чисел
  13. Найдите простое число p, если число 13p+1 является кубом некоторого натурального числа.
  14. Докажите, что сумма n>1 последовательных нечетных чисел является составным числом
  15. Докажите, что если p - простое число, то число C_p^i при 0<i<p делится на p. Верно ли это утверждение, если число p не является простым?
  16. Докажите, что число вида n^4+4n\in N, n>1 всегда составное.
  17. Обозначим через p_n n-ое по порядку простое число. Докажите, что p_n\ge 2n
  18. Пусть p - простое число. Докажите, что единственным решением в целых числах уравнения x^3+py^3+p^2z^3=0 является x=y=z=0
  19. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел, дающих при делении на 3 остаток 2.
  20. Докажите, что простых чисел вида 4k-1 бесконечно много.