Теория чисел

Задачи 241-260

вернуться к содержанию

241. Из чисел от 1 до 1000! вычеркнуты все числа, делящиеся на 2, 3, 5 и 7. Какая часть первоначально взятых чисел осталась невычеркнутой?
242. Числа b и c взаимно просты. Сколько имеется чисел от 1 до a, делящихся хотя бы на одно из чисел b и c?
243. Докажите, что число $3^{24}+3^{17}+1$ является составным.
244. Найдите все упорядоченные тройки простых чисел $(p;q;r)$, удовлетворяющие равенству $p^q+q^p=r$
245. Докажите, что a не может быть четвертой степенью натурального числа, если a-5 делится на 9.
246. Докажите, что число вида 8n+7 не может быть суммой квадратов трех целых чисел.
247. Докажите, что сумма четных степеней трех последовательных четных чисел не может равняться четной степени целого числа.
248. Решите сравнения: а) $2x+1=0(mod 7)$; б) $2x+3=0(mod 6)$; в) $x^2=-1(mod 11)$; г) $2x^2+3x+1=0(mod 5)$
249. Решите сравнения: а) $4x^2+3x=5(mod 11)$; б) $x^3+4x^2=-1(mod 9)$
250. Решите систему сравнений $x=3(mod 5)$ и $x=1(mod 8)$
251. Докажите, что числа вида $k^2+k+2$ не могут делиться на числа вида $6n+3$
252. Докажите, что числа вида $k^2+k+1$ не могут делиться на 5, на 11, на 17.
253. Докажите, что ни при каком натуральном $n$ число $1+2+...+n$ не может заканчиваться ни одной из цифр 2, 4, 7, 9.
254. Найдите остаток от деления числа $98!\cdot 1904!+1$ на 2003
255. Докажите, что число $97!\cdot 1905!-1$ делится на 2003
256. На доске написано число $x$. За каждый ход его можно заменить либо на число $2x+4$, либо на число $3x+8$, либо на число $x^2+5x$. Можно ли за несколько таких ходов из числа 3 получить число 2002?
257. Докажите, что НОД(a,b)=НОД(a,a+b)=НОД(a,a-b)
258. Докажите, что если целые числа a и b взаимно просты, то их сумма и произведение также являются взаимно простыми числами.
259. Докажите, что если числа a и b являются взаимно простыми, то НОД(a+b,a-b) равен либо 1, либо 2. Приведите пример таких взаимно простых чисел  a и b, что НОД(a+b, a-b)=2
260. Докажите, что если числа a и b являются взаимно простыми, то НОД($a+b$,$a^2-ab+b^2$) равен либо 1, либо 3. Приведите пример таких взаимно простых чисел  a и b, что НОД($a+b$,$a^2-ab+b^2$)=3