Теория чисел. Задачи 241-260

Теория чисел

Задачи 241-260

теория чисел

вернуться к содержанию

  1. Из чисел от 1 до 1000! вычеркнуты все числа, делящиеся на 2, 3, 5 и 7. Какая часть первоначально взятых чисел осталась невычеркнутой?
  2. Числа b и c взаимно просты. Сколько имеется чисел от 1 до a, делящихся хотя бы на одно из чисел b и c?
  3. Докажите, что число 3^{24}+3^{17}+1 является составным.
  4. Найдите все упорядоченные тройки простых чисел (p;q;r), удовлетворяющие равенству p^q+q^p=r
  5. Докажите, что a не может быть четвертой степенью натурального числа, если a-5 делится на 9.
  6. Докажите, что число вида 8n+7 не может быть суммой квадратов трех целых чисел.
  7. Докажите, что сумма четных степеней трех последовательных четных чисел не может равняться четной степени целого числа.
  8. Решите сравнения: а) 2x+1=0(mod 7); б) 2x+3=0(mod 6); в) x^2=-1(mod 11); г) 2x^2+3x+1=0(mod 5)
  9. Решите сравнения: а) 4x^2+3x=5(mod 11); б) x^3+4x^2=-1(mod 9)
  10. Решите систему сравнений x=3(mod 5) и x=1(mod 8)
  11. Докажите, что числа вида k^2+k+2 не могут делиться на числа вида 6n+3
  12. Докажите, что числа вида k^2+k+1 не могут делиться на 5, на 11, на 17.
  13. Докажите, что ни при каком натуральном n число 1+2+...+n не может заканчиваться ни одной из цифр 2, 4, 7, 9.
  14. Найдите остаток от деления числа 98!\cdot 1904!+1 на 2003
  15. Докажите, что число 97!\cdot 1905!-1 делится на 2003
  16. На доске написано число x. За каждый ход его можно заменить либо на число 2x+4, либо на число 3x+8, либо на число x^2+5x. Можно ли за несколько таких ходов из числа 3 получить число 2002?
  17. Докажите, что НОД(a,b)=НОД(a,a+b)=НОД(a,a-b)
  18. Докажите, что если целые числа a и b взаимно просты, то их сумма и произведение также являются взаимно простыми числами.
  19. Докажите, что если числа a и b являются взаимно простыми, то НОД(a+b,a-b) равен либо 1, либо 2. Приведите пример таких взаимно простых чисел  a и b, что НОД(a+b, a-b)=2
  20. Докажите, что если числа a и b являются взаимно простыми, то НОД(a+b,a^2-ab+b^2) равен либо 1, либо 3. Приведите пример таких взаимно простых чисел  a и b, что НОД(a+b,a^2-ab+b^2)=3