Теория чисел. Задачи 261-280

Теория чисел

Задачи 261-280

теория чисел

вернуться к содержанию

  1. Докажите, что НОД(a,b)=НОД(5a+3b,13a+8b)
  2. Докажите, что для любого целого n числа n+3 и 3n+8 взаимно просты.
  3. Числа a и b взаимно просты. Докажите, что найдется такое целое n, что an+2003 делится на b
  4. Докажите, что если НОД(a,b)=1 и a_1, b_1 - делители чисел a и b соответственно, то НОД(a_1,b_1)=1
  5. Докажите, что для любых целых a,b и c НОД(a+bc,a+b(c-1))=НОД(a,b)
  6. Докажите, что если числа a и b взаимно просты, то НОД(11a+2b, 18a+5b) равен либо 1, либо 19
  7. Числа m и n взаимно просты. Какие значения может принимать: а) НОД(5m+n, 7m+3n); б) НОД(m+n,m^2+n^2)?
  8. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 5n^2+2, n-3; б) 3n^2-5, 4n-1; в) 4n^2-1, 5n+1; г) 8n^2-7, 3n-1
  9. Докажите, что при любом натуральном n числа n(n+2)/2 и 2n+1 взаимно просты.
  10. Предположим, что НОД(a,b)=НОД(c,d)=1 и сумма \frac{a}{b}+\frac{c}{d} является целым числом. Докажите, что b=\pm d
  11. Докажите, что для любого натурального n>1 сумма \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n} не является целым числом.
  12. Известно, что дробь \frac{a}{b} несократима. Докажите, что дробь \frac{2a+b}{5a+3b} также несократима.
  13. Докажите, что дробь является несократимой для всех натуральных n: а) \frac{2n^2-1}{2n+1}; б) \frac{n^2+n-1}{n^2+2n}
  14. При каких целых n сократимы дроби: а) \frac{n^2+2n+4}{n^2+n+3}; б) \frac{n^3-n^2-3n}{n^2-n+3}; в) \frac{22n+3}{26n+4}?
  15. Найдите все такие натуральные a и ba\le b, такие что a+b=432 и НОД(a,b)=36
  16. Нечетные числа a и b таковы, что a-b=64. Найдите НОД(a,b)
  17. Последовательность (x_n) задана равенствами x_1=3, x_{n+1}=x_n^2-2. Докажите, что любые два члена этой последовательности взаимно просты.
  18. Играют двое. В начале игры на доске записаны два натуральных числа. Играющие по очереди записывают новые натуральные числа, являющиеся разностью любых двух из уже написанных чисел. Игра прекращается, если такого числа не существует. Покажите, что игра завершится в любом случае. Чему равно наименьшее записанное после окончания игры число?
  19. Докажите, что из пяти последовательных целых чисел всегда можно выбрать одно, взаимно простое со всеми остальными.
  20. Найдите натуральные числа n, для которых (НОД(n,4))^2=n