Теория чисел

Задачи 281-300

вернуться к содержанию

281. Найдите наименьшее натуральное число, большее двух и дающее при делении на 2, 3, 4, 5, 6 остаток, равный 1.
282. Для каких двух различных натуральных чисел в пределах от 1 до 1000 их наименьшее общее кратное является наибольшим из всех возможных?
283. Натуральное число при делении на 2, 3, 4, 5, 6 и 7 дает в остатке соответственно 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Найдите наименьшее такое число. Найдите общий вид таких чисел.
284. Натуральное число при делении на 4, 5 и 6 дает в остатке соответственно 3, 4 и 5, а на 7 делится без остатка. Найдите наименьшее такое число и общий вид таких чисел.
285. Найдите наименьшее общее кратное натуральных чисел $n$ и $n+3$
286. Чему может быть равно наименьшее общее кратное трех чисел $n$, $n+1$ и $n+2$, где $n\in N$?
287. Среди первых ста натуральных чисел найдите три различных числа, наименьшее общее кратное которых - наибольшее из всех возможных.
288. Три теплохода заходят в порт после каждого рейса. Первый теплоход совершает рейс за 4 дня, второй - за 6, третий - за 9. Однажды они встретились в порту все вместе. Через какое наименьшее число дней они снова встретятся в порту все вместе?
289. На гранях кубиков нужно написать буквы русского алфавита, по одной на каждой грани. Какое наименьшее число кубиков нужно взять для того, чтобы все 33 буквы алфавита были написаны одинаковое количество раз и все грани кубиков были заполнены?
290. Отец и сын шли по занесенной снегом дороге друг за другом. Длина шага отца - 80 см, сына - 60 см. Их шаги совпали 601 раз, в том числе в самом начале пути и в конце пути. Какое расстояние они прошли?
291. Два школьника вышли одновременно из А в В и отправились друг за другом по занесенной снегом тропинке. Шаг одного из них равен 75 см, другого - 65 см. В первый раз их шаги совпали через 18 секунд после начала движения, а после 10 минут движения их шаги впервые совпали в пункте В. Найдите расстояние АВ.
292. Докажите, что наименьшее общее кратное натуральных чисел 1, 2, ..., 2n-1, 2n совпадает с наименьшим общим кратным чисел n+1, n+2, ..., 2n.
293. Найдите натуральные числа a и b, если они не делятся друг на друга и НОД(a,b)=6, НОК(a,b)=90.
294. Найдите наименьшую дробь, при делении которой на каждую из дробей 21/25 и 14/15 получаются натуральные числа.
295. Найдите все пары натуральных чисел, произведение которых равно 108, а отношение их наименьшего общего кратного к наибольшему общему делителю равно 12.
296. Сколькими нулями оканчивается десятичная запись числа 100! ?
297. Существует ли такой многочлен P(x) с целыми коэффициентами, что P(1)=1 и P(5)=2?
298. Решите в натуральных числах уравнение $(x+y)^2-3x-y=150$
299. Решите в целых числах уравнение $x^3+21y^2+5=0$
300. Решите в целых числах уравнение $4x^3-2y^3-z^3=0$