Теория чисел. Задачи 321-340

Теория чисел

Задачи 321-340

теория чисел

вернуться к содержанию

  1. Докажите, что уравнение не имеет решений в целых числах: а) x^2-y^2=1982; б) x^2=3y^2+17; в) y^2=5x+6; г) 2^x-1=y^2, x>1; д) x^2-9y^2=23; е) 9x=y^2-2; ж) x^2-5y^2=3
  2. Решите в натуральных числах уравнение 2xy+4z=zx^2+4y^2z
  3. Решите в натуральных числах уравнение xz+4y=yx^2+z^2y
  4. Решите в натуральных числах уравнение 3xy+9z=9zx^2+zy^2
  5. Решите в натуральных числах уравнение x+y+z=xyz
  6. Решите в натуральных числах уравнение 3xy+3yz+3xz=5xyz+3
  7. Решите в целых числах уравнение x^2+y^2+z^2=2xyz
  8. Решите в целых числах уравнение x^2-2y^2+8z=3
  9. Сколько различных целочисленных пар удовлетворяют уравнению x^2=4y^2+20025?
  10. Найдите натуральное число x, если: а)\varphi(6^x)=72; б) \varphi(12^x)=6912; в) \varphi(15^x)=1800
  11. Докажите, что для любого целого числа m>1 сумма всех натуральных чисел, не превосходящих числа m и взаимно простых с m, равна 0,5\cdot m\cdot\varphi(m)
  12. Найдите все натуральные числа n, для которых имеет место равенство n=2\cdot\varphi(n)
  13. Найдите остаток от деления 3\cdot 5^{75}+4\cdot 7^{100} на 132
  14. Докажите, что если p и q произвольные простые числа, то для любого целого числа a имеет место сравнение qa^p+pa^q=(p+q)a (mod pq)
  15. Решите уравнение x^2-2y^2=1 в рациональных числах
  16. Решите уравнение x^2+3y^2=1 в рациональных числах
  17. Мастер делает в час целое число деталей, большее, чем 15, а ученик - на 5 деталей меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика вместе - на 1 час быстрее. Из какого количества деталей состоит заказ?
  18. При каких a система неравенств x+3y>24y-x<6 и ay>x-2 имеет единственное решение в целых числах?
  19. Найдите сумму всех семизначных четных чисел, делящихся на 3 и записываемых только цифрами 0 и 1.
  20. Стороны прямоугольника выражены целыми числами. Каковы длины сторон прямоугольника, если его периметр численно равен площади?