Теория чисел

Задачи 321-340

вернуться к содержанию

321. Докажите, что уравнение не имеет решений в целых числах: а) $x^2-y^2=1982$; б) $x^2=3y^2+17$; в) $y^2=5x+6$; г) $2^x-1=y^2, x>1$; д) $x^2-9y^2=23$; е) $9x=y^2-2$; ж) $x^2-5y^2=3$
322. Решите в натуральных числах уравнение $2xy+4z=zx^2+4y^2z$
323. Решите в натуральных числах уравнение $xz+4y=yx^2+z^2y$
324. Решите в натуральных числах уравнение $3xy+9z=9zx^2+zy^2$
325. Решите в натуральных числах уравнение $x+y+z=xyz$
326. Решите в натуральных числах уравнение $3xy+3yz+3xz=5xyz+3$
327. Решите в целых числах уравнение $x^2+y^2+z^2=2xyz$
328. Решите в целых числах уравнение $x^2-2y^2+8z=3$
329. Сколько различных целочисленных пар удовлетворяют уравнению $x^2=4y^2+20025$?
330. Найдите натуральное число $x$, если: а)$\varphi(6^x)=72$; б) $\varphi(12^x)=6912$; в) $\varphi(15^x)=1800$
331. Докажите, что для любого целого числа $m>1$ сумма всех натуральных чисел, не превосходящих числа $m$ и взаимно простых с $m$, равна $0,5\cdot m\cdot\varphi(m)$
332. Найдите все натуральные числа $n$, для которых имеет место равенство $n=2\cdot\varphi(n)$
333. Найдите остаток от деления $3\cdot 5^{75}+4\cdot 7^{100}$ на 132
334. Докажите, что если $p$ и $q$ произвольные простые числа, то для любого целого числа $a$ имеет место сравнение $qa^p+pa^q=(p+q)a (mod pq)$
335. Решите уравнение $x^2-2y^2=1$ в рациональных числах
336. Решите уравнение $x^2+3y^2=1$ в рациональных числах
337. Мастер делает в час целое число деталей, большее, чем 15, а ученик - на 5 деталей меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика вместе - на 1 час быстрее. Из какого количества деталей состоит заказ?
338. При каких $a$ система неравенств $x+3y>24$, $y-x<6$ и $ay>x-2$ имеет единственное решение в целых числах?
339. Найдите сумму всех семизначных четных чисел, делящихся на 3 и записываемых только цифрами 0 и 1.
340. Стороны прямоугольника выражены целыми числами. Каковы длины сторон прямоугольника, если его периметр численно равен площади?