Теория чисел

Задачи 41-60

вернуться к содержанию

41. Докажите, что $7^{191}-1$ делится на 6.
42. Докажите, что любое число, десятичная запись которого состоит из $3n$ единиц, делится на 37
43. Докажите, что при всех натуральных $n$ число $\frac{1}{5}(2^{4n+2}+1)$ - целое, и при $n>1$ - составное
44. Докажите, что при любом натуральном $n$ числа вида $2^{3n}-7n-1$ делится на 49.
45. Пусть $m,n,k$ - натуральные числа и $m+n+k$ делится без остатка на 6. Докажите, что в этом случае делятся без остатка на 6 числа $m^3+n^3+k^3$ и $m^5+n^3+k$
46. При натуральные числа $m$ и $n$ известно, что $m^2+n^2$ делится без остатка на 3. Докажите, что в этом случае числа $m$ и $n$ по отдельности также делятся на 3.
47. При натуральные числа $m$ и $n$ известно, что $m^2+n^2$ делится без остатка на 7. Докажите, что в этом случае числа $m$ и $n$ по отдельности также делятся на 7.
48. Пусть $p>4$ - простое число. Докажите, что $p^4-1$ делится без остатка на 48.
49. Докажите, что для всех натуральных чисел $m$ и $n$ таких, что $m>n$, число $mn(m^2-n^2)$ делится без остатка на 6.
50. Докажите, что при натуральных $n$ число $n^3-n$ делится на 6.
51. Докажите, что произведение любых четырех последовательных натуральных чисел делится нацело на 24.
52. Докажите, что при любом натуральном $n$ число $n^5-5n^3+4n$ делится без остатка на 120.
53. Делится ли на 81 число, запись которого состоит из 81 единицы?
54. Докажите, что из любых 52 целых чисел можно выбрать два числа так, чтобы либо их сумма, либо их разность делилась на 100.
55. Известно, что длины сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами. Докажите, что хотя бы одна из длин сторон треугольника делится на 3 и хотя бы одна из длин сторон делится на 5.
56. Докажите, что число $\overline{abcd}$ делится нацело на 101 тогда и только тогда. когда $\overline{ab}-\overline{cd}=0$
57. Докажите, что из 18 последовательных трехзначных чисел хотя бы одно делится без остатка на сумму своих цифр.
58. Найдите максимальное $n$, при котором 500! делится на $7^n$
59. Известно, что $n-1$ делится нацело на 2, $n-2$ делится нацело на 5. Докажите, что $n+3$ делится нацело на 10.
60. Может ли натуральное число делиться нацело на 8, а при делении на 12 давать остаток, равный 10?