Теория чисел

Задачи 81-100

вернуться к содержанию

81. Докажите, что если $a+b$ и $ab$ делятся на $c$, то $a^2+b^2$ делится на $c$
82. Докажите, что если $a^2$ делится на $a+b$, то $b^2$ делится на $a+b$
83. Докажите, что если $ab+cd$ делится на $a+c$, то $ad+bc$ делится на $a+c$
84. Докажите, что если $ab+cd$ делится на $a-c$, то $ad+bc$ делится на $a-c$
85. Докажите, что если $a^2+ab+b^2$ делится на $a+b$, то $a^4+b^4$ делится на $(a+b)^2$
86. Докажите, что если в трехзначном числе две последние цифры одинаковы, а сумма его цифр делится на 7, то и само число делится на 7.
87. Даны два трехзначных числа, причем ни одно из них не делится на 37, а сумма их делится на 37. Приписав одно из чисел к другому, получили некоторое шестизначное число. Докажите, что оно делится на 37.
88. Из трех различных цифр получают шесть трехзначных чисел, всевозможным образом переставляя эти цифры. Докажите, что если среди этих шести чисел найдется число, делящееся на 37, то обязательно среди них будут еще два числа, делящиеся на 37.
89. Даны два трехзначных числа, дающие одинаковые остатки при делении на 7. Приписав одно из чисел к другому, получили некоторое шестизначное число. Докажите, что оно делится на 7.
90. При каких целых $n$ число $\frac{2n+1}{3n+1}$ является целым?
91. Найдите все такие целые числа $a$, для которых число $a^2+1$ делится на число $a+1$
92. Найдите все целые $n$, при которых $n^3+7n+1$ делится на $n-2$
93. Найдите $a$ и $b$, если для любого натурального $n$ число $n^3+an+b$ делится на $n^2+1$
94. Докажите, что сумма $n$ последовательных целых чисел делится на $n$ тогда и только тогда, когда $n$ нечетно.
95. Докажите, что число натуральных делителей натурального числа $n$ не превосходит $2\sqrt{n}$
96. Докажите, что если натуральное число имеет нечетное число натуральных делителей, то оно является квадратом некоторого натурального числа.
97. Числа $a$ и $m$ взаимно просты. Докажите, что если $ad-bc$ делится на $m$ и $a-b$ делится на $m$, то и число $c-d$ делится на $m$
98. Докажите, что если число $a+4b$ делится на 13, то и число $10+b$ делится на 13, где $a,b$ - целые числа. Верно ли обратное?
99. Докажите, что если число $3a+2b$ делится на 17, то и число $10a+b$ делится на 17, где $a,b$ - целые числа. Верно ли обратное?
100. При делении с остатком числа 1270 на некоторое положительное число $b$ частное оказалось равным $74$. Найдите остаток и число $b$.