Решение задач по теории вероятностей

Задачи 1.1 - 1.3

содержание задачника

читать теорию к задачам

Условие задачи 1.1

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях - четная, причем на грани хотя бы одной кости появится шестерка.

Решение задачи 1.1

На выпавшей грани "первой" игральной кости может появиться одно очко, два очка, ..., шесть очков. Аналогичные шесть элементарных исходов возможны при бросании "второй" кости. Каждый из исходов бросания первой кости может сочетаться с каждым из исходов бросания второй. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно $6\cdot 6 = 36$ (правило произведения). Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии костей равновозможны.

Благоприятствующими интересующему нас событию (хотя бы на одной грани появится шестерка, сумма выпавших очков - четная) являются следующие пять исходов (первым записано число очков, выпавших на первой кости, вторым - на второй кости, далее найдена сумму очков): 1) 6 и 2; 6+2=8; 2) 6 и 4; 6+4=10; 3) 6 и 6; 6+6=12; 4) 2 и 6; 2+6=8; 5) 4 и 6; 4+6=10.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов: $P=\frac{5}{36}$.

Ответ: $\frac{5}{36}$

Условие задачи 1.2

При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная деталь (после перевозки) из ящика деталь оказалась нестандартной. Найти вероятность того, что было утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь

Решение задачи 1.2

а) Извлеченная стандартная деталь не могла быть утеряна. Могла быть утеряна любая из остальных 30 деталей, причем среди них было 20 стандартных. Вероятность того, что была потеряна стандартная деталь, равна $P=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$

б) Среди 30 деталей, каждая из которых могла быть утеряна, было 10 нестандартных. Вероятность того, что потеряна нестандартная деталь, $P=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$

Ответ: а) 2/3; б) 1/3

Условие задачи 1.3

Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманное число окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны.

Решение задачи 1.3

а) Всего двузначных чисел 99-10+1=90. Число, которое задумано, единственное. Значит, по определению классической вероятности $P=\frac{1}{90}$

б) Двузначных чисел, каждое из которых состоит из различных цифр, 90 - 9 = 81 (всего двузначных чисел 90, а с одинаковыми цифрами - 9). Тогда по определению классической вероятности $P=\frac{1}{81}$, так как подходящее количество чисел равно 1 (то, которое задумано) и это числитель дроби.

Ответ: а) 1/90; б) 1/81