Ткачук. Текстовые задачи на движение. Решение домашнего задания урока 13. Задачи 1-3

Решебник домашнего задания урока 13
В.В. Ткачук  "Математика - абитуриенту"

Задачи 1-3

Обложка книги

Рассмотрим решение задач с номерами 1-3 домашнего задания урока 13 на тему: "Текстовые задачи на движение". Весь список домашних заданий и их решений здесь.

Задача 1. Пусть S_1 м - длина окружности заднего колеса, а S_2  м - длина окружности переднего колеса (S_1>S_2). Тогда n\cdot S_1=(n+1000)\cdot S_2 и n\cdot S_1=(n+200)\cdot\displaystyle\frac{3S_2}{2}. Выразим из каждого уравнения n и приравняем полученные выражения: \displaystyle\frac{1000S_2}{S_1-S_2}=\frac{600S_2}{2S_1-3S_2}, откуда 7S_1=12S_2. По условию, S_1=S_2+\displaystyle\frac{3}{2}, тогда 7S_2+\displaystyle\frac{21}{2}=12S_2, поэтому S_2=2,1 м, S_1=3,6 м.

Задача 2. Пусть S м - длина окружности, по которой движутся тела, V_1, V_2 - скорости этих тел в м/c. Тогда \displaystyle\frac{S}{V_1}  - время, за которое первое тело проходит окружность, \displaystyle\frac{S}{V_2} - время, за которое второе тело проходит окружность. Из условия следует, что \displaystyle\frac{S}{V_1}+2=\frac{S}{V_2}. Так как первое тело догоняет второе каждые 12 с, то расстояние между ними сокращается от S до 0 со скоростью V_1-V_2 за 12 с, то есть \displaystyle\frac{S}{V_1-V_2}=12, откуда S=12(V_1-V_2). После подстановки найденного выражения для S в первое уравнение, получаем равенство 12(V_1-V_2)V_2+2V_1V_2=12(V_1-V_2)V_1, что равносильно уравнению 6V_1^2-13V_1V_2+6V_2^2=0. Далее можно разделить левую и правую части уравнения, например, на V_2 и решить полученное уравнение 6\displaystyle (\frac{V_1}{V_2})^2-13\frac{V_1}{V_2}+6=0 как квадратное относительно \displaystyle\frac{V_1}{V_2}. Получаем, что \displaystyle\frac{V_1}{V_2}=\frac{2}{3} (второй корень, равный 1,5, не удовлетворяет требованию V_1>V_2). Тогда S=4V_2 и \displaystyle \frac{S}{V_2}=4  с, \displaystyle\frac{S}{V_1}=6 с.

Задача 3. Пусть x км - расстояние АС,  V км/ч - скорость автобуса, 2V км/ч - скорость поезда. Так как вся поездка занимает 1 час 15 мин, то есть \frac{5}{4} часа, то \displaystyle\frac{x}{2V}+\frac{15}{V}=\frac{5}{4}. Для составления второго уравнения заметим, что время, затраченное пассажиром на путь до пункта С без ожидания автобуса в пункте, равно \displaystyle\frac{x-5}{2V}+\frac{5}{4}. Тогда время, затраченное на весь путь до С равно \displaystyle\frac{x-5}{2V}+\frac{5}{4}+\frac{1}{3}+\frac{15}{V}. Значит, можно составить второе уравнение в виде \displaystyle\frac{x-5}{2V}+\frac{5}{4}+\frac{1}{3}+\frac{15}{V}=\frac{5}{4}+\frac{3}{2}. Напомним, что единицы измерения должны быть соблюдены (в нашем случае все данные представлены через км и ч). Осталось из каждого уравнения выразить V и приравнять полученные выражения. Получим уравнение \displaystyle\frac{2}{5}(x+30)=\frac{3}{7}(x-5+30), откуда \displaystyle\frac{7x}{3}+70=\frac{5x}{2}-\frac{25}{2}+75 и x=45 км.