Решебник домашнего задания урока 1
В.В. Ткачук  "Математика - абитуриенту"

Задачи 18-20

Рассмотрим решение задач с номерами 18-20 домашнего задания урока 1 на тему: "Тригонометрические уравнения. Сведение к квадратным уравнениям". Весь список домашних заданий и их решений здесь.

Задача 18. $4-3\cos 4x=10\sin x\cos x$  $\Leftrightarrow 4-3(1-2\sin^2 2x)=5\sin 2x$ $\Leftrightarrow 6\sin^2 2x-5\sin 2x +1=0$. Получено квадратное относительно $\sin 2x$ уравнение. Далее можно сделать замену $t=\sin 2x$. В итоге, $\sin 2x = \frac{1}{2}$ или $\sin 2x=\frac{1}{3}$, откуда $x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$ и $x=\frac{(-1)^n}{2}\arcsin\frac{1}{3}+\frac{\pi n}{2}, n\in Z$.

Задача 19. [2] Необходимо решить уравнение $\sin^8 x+\cos^8 x=\displaystyle\frac{17}{16}\cos^2 2x$. Применим формулы $a^8+b^8=(a^4+b^4)^2-2a^4b^4$ и $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Тогда уравнение принимает вид $(\sin^4x+\cos^4x)^2-2\sin^4x\cos^4x=\displaystyle\frac{17}{16}\cos^2 2x$  $\Leftrightarrow (1-2\sin^2x\cos^2 x)^2-2\sin^4x\cos^4x=\displaystyle\frac{17}{16}\cos^2 2x$, так как $a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$ и $\sin^2x+\cos^2 x=1$. Далее $(1-\displaystyle\frac{\sin^22x}{2})^2-\frac{\sin^4 2x}{8}=\frac{17}{16}(1-\sin^2 2x)$.  Осуществим замену $\sin^2 2x=t$. Тогда $(1-\displaystyle\frac{t}{2})^2-\frac{t^2}{8}=\frac{17}{16}(1-t)$  $\Leftrightarrow 2t^2+t-1=0$, откуда $\sin^22x=-1$ и $\sin^2 2x=\displaystyle\frac{1}{2}$. Первое уравнение решений не имеет. Из второго находим, что $x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, n \in Z$. Кстати, данное множество углов можно записать и формулой $x=\displaystyle\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}, n\in Z$

Задача 20. $\displaystyle\frac{6-5\sin^2 x}{\cos^2 x}=5tg x$ $\Leftrightarrow \displaystyle\frac{6}{\cos^2 x}-5tg^2 x=5tg x$  $\Leftrightarrow 6(1+tg^2 x)-5tg^2 x=5tg x$ $\Leftrightarrow tg^2 x-5 tg x+6=0$. В результате решения данного квадратного относительно $tg x$ уравнения имеем совокупность двух уравнений $tg x = 2$ и $tg x = 3$. Значит, $x=arctg2+\pi n, n\in Z$, $x=arctg3+\pi n, n\in Z$.