Ткачук. Тригонометрические уравнения. Сведение к квадратным уравнениям. Решение домашнего задания урока 1. Задачи 18-20

Решебник домашнего задания урока 1
В.В. Ткачук  "Математика - абитуриенту"

Задачи 18-20

Обложка книги

Рассмотрим решение задач с номерами 18-20 домашнего задания урока 1 на тему: "Тригонометрические уравнения. Сведение к квадратным уравнениям". Весь список домашних заданий и их решений здесь.

Задача 18. 4-3\cos 4x=10\sin x\cos x  \Leftrightarrow 4-3(1-2\sin^2 2x)=5\sin 2x \Leftrightarrow 6\sin^2 2x-5\sin 2x +1=0. Получено квадратное относительно \sin 2x уравнение. Далее можно сделать замену t=\sin 2x. В итоге, \sin 2x = \frac{1}{2} или \sin 2x=\frac{1}{3}, откуда x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2} и x=\frac{(-1)^n}{2}\arcsin\frac{1}{3}+\frac{\pi n}{2}, n\in Z.

Задача 19. [2] Необходимо решить уравнение \sin^8 x+\cos^8 x=\displaystyle\frac{17}{16}\cos^2 2x. Применим формулы a^8+b^8=(a^4+b^4)^2-2a^4b^4 и \sin 2x=2\sin x\cos x. Тогда уравнение принимает вид  (\sin^4x+\cos^4x)^2-2\sin^4x\cos^4x=\displaystyle\frac{17}{16}\cos^2 2x  \Leftrightarrow (1-2\sin^2x\cos^2 x)^2-2\sin^4x\cos^4x=\displaystyle\frac{17}{16}\cos^2 2x, так как a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2 и \sin^2x+\cos^2 x=1. Далее (1-\displaystyle\frac{\sin^22x}{2})^2-\frac{\sin^4 2x}{8}=\frac{17}{16}(1-\sin^2 2x).  Осуществим замену \sin^2 2x=t. Тогда (1-\displaystyle\frac{t}{2})^2-\frac{t^2}{8}=\frac{17}{16}(1-t)  \Leftrightarrow 2t^2+t-1=0, откуда \sin^22x=-1 и \sin^2 2x=\displaystyle\frac{1}{2}. Первое уравнение решений не имеет. Из второго находим, что x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, n \in Z. Кстати, данное множество углов можно записать и формулой x=\displaystyle\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}, n\in Z

Задача 20. \displaystyle\frac{6-5\sin^2 x}{\cos^2 x}=5tg x \Leftrightarrow \displaystyle\frac{6}{\cos^2 x}-5tg^2 x=5tg x  \Leftrightarrow 6(1+tg^2 x)-5tg^2 x=5tg x \Leftrightarrow tg^2 x-5 tg x+6=0. В результате решения данного квадратного относительно tg x уравнения имеем совокупность двух уравнений tg x = 2 и tg x = 3. Значит, x=arctg2+\pi n, n\in Z, x=arctg3+\pi n, n\in Z.