Ткачук. Тригонометрические уравнения. Сведение к квадратным уравнениям. Решение домашнего задания урока 35. Задачи 1-3

Решебник домашнего задания урока 35
В.В. Ткачук  "Математика - абитуриенту"

Задачи 1-3

Обложка книги

Рассмотрим решение задач с номерами 1-3 домашнего задания урока 35 на тему: "Задачи с параметрами. Квадратные уравнения и неравенства". Весь список домашних заданий и их решений здесь.

Задача 1. Так как корни должны существовать, то требуем, чтобы дискриминант был неотрицательным, то есть a^2-4a+4\geq 0 \Leftrightarrow a\in (-\infty; 2-2\sqrt{2}]\cup[2+2\sqrt{2};+\infty) . Так как x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2, а по теореме Виета x_1+x_2=a и x_1x_2=a+1, то приходим к неравенству a^2-2a-3>0 \Leftrightarrow a\in (-\infty; -1)\cup (3; +\infty). С учетом неравенства для дискриминанта, получаем ответ: (-\infty; -1)\cup[2+2\sqrt{2};+\infty).

Задача 2. Так как корни должны существовать, то требуем, чтобы дискриминант был неотрицательным, то есть 1-4a\geq 0 \Leftrightarrow a\in (-\infty; 1/4] . Так как x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2), а по теореме Виета x_1+x_2=1 и x_1x_2=a, то приходим к неравенству 1-3a\leq 1 \Leftrightarrow a\in [0; +\infty). С учетом неравенства для дискриминанта, получаем ответ: [0;1/4].

Задача 3. Заметим, что x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2, а x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2, то есть x_1^4+x_2^4=((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)^2-2x_1^2x_2^2 . Так как по теореме Виета x_1+x_2=1 и x_1\cdot x_2=a, то x_1^4+x_2^4=(1-2a)^2-2a^2. Далее решаем неравенство (1-2a)^2-2a^2\geq 1 \Leftrightarrow a(a-2)\geq 0 \Leftrightarrow a\in (-\infty; 0]\cup [2;+\infty). Осталось вспомнить, что теорема Виета применима только если корни существуют, то есть дискриминант 1-4a\geq 0. Тогда окончательный ответ имеет вид a\in (-\infty; 0].

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *