Решебник домашнего задания урока 1
В.В. Ткачук  "Математика - абитуриенту"

Задачи 15-17

Рассмотрим решение задач с номерами 15-17 домашнего задания урока 1 на тему: "Тригонометрические уравнения. Сведение к квадратным уравнениям". Весь список домашних заданий и их решений здесь.

Задача 15. $5+2\sin 2x-5\cos x=5\sin x$. Применим формулу двойного аргумента $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ и представим $5=3+2=3+2\cdot 1=3+2\cdot(\sin^2x+\cos^2x)$. Тогда уравнение примет вид $3+2(\sin^2 x+\cos^2 x)+4\sin x\cos x-5(\cos x+\sin x)=0$ $\Leftrightarrow 3+2(\sin x+\cos x)^2-5(\sin x+\cos x)=0$$\Leftrightarrow 2(\sin x+\cos x)^2-5(\sin x+\cos x)+3=0$. Далее решаем как квадратное относительно $\sin x+\cos x$ (или можно сделать замену $t=\sin x+\cos x$ для более наглядного представления). Получаем, что $\sin x+\cos x=\frac{3}{2}$ или $\sin x+\cos x=1$. Так как $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi}{4})$, то уравнения принимают вид $\sin (x+\frac{\pi}{4})=\frac{3}{2\sqrt{2}}$ и $\sin (x+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Первое уравнение коней не имеет, так как $\frac{3}{2\sqrt{2}}>1$. Для второго уравнения $x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z$.

Задача 16. [2] Необходимо решить уравнение $\sin^4 x+\cos^4 x=\frac{3}{4}$ . Применим формулу $a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$  к левой части уравнения. Тогда $(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=\frac{3}{4}$. Так как $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ и $\sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x$, то уравнение примет вид $1-\displaystyle\frac{\sin^2 2x}{2}=\frac{3}{4}$ $\Leftrightarrow \sin^2 2x=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow\sin 2x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, откуда $x=\pm\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

Задача 17. $\cos 4x+8\sin^2 x-2=6\cos 2x-8\cos^4 x$. Применим формулы понижения степени $\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ и $\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$. Получим уравнение $\displaystyle 2\cos^2 2x-1+8\cdot\frac{1-\cos 2x}{2}-2=6\cos 2x-8\cdot (\frac{1+\cos 2x}{2})^2$ $\Leftrightarrow 2\cos^2 2x-1+4-4\cos 2x-2=6\cos 2x-2-4\cos 2x-2\cos^2 2x$ $\Leftrightarrow 4\cos^2 2x-6\cos 2x+3=0$. Пришли к квадратному относительно $\cos 2x$ уравнению с отрицательным дискриминантом.