В.В. Ткачук Математика - абитуриенту. Домашнее задание к уроку 17

Урок 17. Прогрессии

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. Известно, что a_1,\ldots, a_{15} - арифметическая прогрессия и a_1+a_5+a_{15}=3. Найдите a_5+a_9.
  2. Известно, что b_1,\ldots, b_{11} - геометрическая прогрессия и b_1b_3b_{11}=8. Найдите b_2b_8.
  3. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют (в том порядке, в котором они стоят в числе) возрастающую арифметическую прогрессию и которое делится на 45.
  4. [2] Найдите все значения a, при которых уравнение x^8+ax^4+1=0 имеет ровно четыре корня и эти корни образуют арифметическую прогрессию.
  5. Про натуральные числа k, p, m, v известно следующее: k, p, m - геометрическая прогрессия, k-2, p, m, v-12 - арифметическая прогрессия и m+18=v. Найдите m.
  6. Найдите сумму чисел, являющихся одновременно членами прогрессии 3, 7, 11, ..., 203 и прогрессии 2, 9, 16, ..., 212.
  7. Второй член арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, равен 2, а сумма квадратов третьего и четвертого ее членов равна 4. Найдите первый член прогрессии.
  8. Известно, что a_1, a_2, a_3 - геометрическая прогрессия, знаменатель которой q - натуральное число, причем a_1=8, 2a_2-a_3/2>15. Найдите q.
  9. Пусть a_1,\ldots, a_{20} - арифметическая прогрессия, a_3+a_7+a_{14}+a_{18}=10. Найдите a_1+a_2+\ldots+a_{20}.
  10. [3] Могут ли числа \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5} быть членами (не обязательно последовательными) одной арифметической прогрессии?
  11. Известно, что a^2, b^2, c^2 - арифметическая прогрессия. Докажите, что тогда и \frac{1}{b+c},\frac{1}{a+c},\frac{1}{a+b} - тоже арифметическая прогрессия.
  12. [2] Известно, что при любом n сумма первых n членов некоторой числовой последовательности выражается формулой S_n=2n^2+3n. Найдите десятый член этой последовательности и докажите, что она является арифметической прогрессией.
  13. [3] Найдите сумму 1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+4\cdot 2^3+5\cdot 2^4+\ldots+100\cdot 2^{99}.
  14. Известно, что a_1,\ldots, a_5 - геометрическая прогрессия с положительными членами, a_2a_3a_4=1, a_1=10000a_5. Найдите все члены этой прогрессии.
  15. [2] Известно, что a_1,a_2,a_3 и b_1,b_2,b_3 - арифметические прогрессии, причем a_1+a_2+a_3=b_1+b_2+b_3 и a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3 - геометрическая прогрессия. Докажите, что a_1=b_3, a_2=b_2, a_3=b_1.

Ответы к домашнему заданию урока 17 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. 2
  2. 4
  3. 135
  4. -82/9
  5. 18
  6. 749
  7. 3
  8. 2
  9. 50
  10. не могут
  11. a_{10}=41, q=4
  12. 99\cdot 2^{100}+1
  13. 100, 10, 1, 1/10, 1/100