Урок 17. Прогрессии

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. Известно, что $a_1,\ldots, a_{15}$ - арифметическая прогрессия и $a_1+a_5+a_{15}=3$. Найдите $a_5+a_9$.
2. Известно, что $b_1,\ldots, b_{11}$ - геометрическая прогрессия и $b_1b_3b_{11}=8$. Найдите $b_2b_8$.
3. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют (в том порядке, в котором они стоят в числе) возрастающую арифметическую прогрессию и которое делится на 45.
4. [2] Найдите все значения $a$, при которых уравнение $x^8+ax^4+1=0$ имеет ровно четыре корня и эти корни образуют арифметическую прогрессию.
5. Про натуральные числа $k, p, m, v$ известно следующее: $k, p, m$ - геометрическая прогрессия, $k-2, p, m, v-12$ - арифметическая прогрессия и $m+18=v$. Найдите $m$.
6. Найдите сумму чисел, являющихся одновременно членами прогрессии 3, 7, 11, ..., 203 и прогрессии 2, 9, 16, ..., 212.
7. Второй член арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, равен 2, а сумма квадратов третьего и четвертого ее членов равна 4. Найдите первый член прогрессии.
8. Известно, что $a_1, a_2, a_3$ - геометрическая прогрессия, знаменатель которой $q$ - натуральное число, причем $a_1=8, 2a_2-a_3/2>15$. Найдите $q$.
9. Пусть $a_1,\ldots, a_{20}$ - арифметическая прогрессия, $a_3+a_7+a_{14}+a_{18}=10$. Найдите $a_1+a_2+\ldots+a_{20}$.
10. [3] Могут ли числа $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ быть членами (не обязательно последовательными) одной арифметической прогрессии?
11. Известно, что $a^2, b^2, c^2$ - арифметическая прогрессия. Докажите, что тогда и $\frac{1}{b+c},\frac{1}{a+c},\frac{1}{a+b}$ - тоже арифметическая прогрессия.
12. [2] Известно, что при любом $n$ сумма первых $n$ членов некоторой числовой последовательности выражается формулой $S_n=2n^2+3n$. Найдите десятый член этой последовательности и докажите, что она является арифметической прогрессией.
13. [3] Найдите сумму $1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+4\cdot 2^3+5\cdot 2^4+\ldots+100\cdot 2^{99}$.
14. Известно, что $a_1,\ldots, a_5$ - геометрическая прогрессия с положительными членами, $a_2a_3a_4=1, a_1=10000a_5$. Найдите все члены этой прогрессии.
15. [2] Известно, что $a_1,a_2,a_3$ и $b_1,b_2,b_3$ - арифметические прогрессии, причем $a_1+a_2+a_3=b_1+b_2+b_3$ и $a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3$ - геометрическая прогрессия. Докажите, что $a_1=b_3, a_2=b_2, a_3=b_1$.

Ответы к домашнему заданию урока 17 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. 2
2. 4
3. 135
4. -82/9
5. 18
6. 749
7. 3
8. 2
9. 50
10. не могут
12. $a_{10}=41, q=4$
13. $99\cdot 2^{100}+1$
14. 100, 10, 1, 1/10, 1/100