В.В. Ткачук Математика - абитуриенту. Домашнее задание к уроку 40

Урок 40. Использование различных свойств функции

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. (x^x-7x-6)\cdot\sin x>0
  2. \sqrt{2x^2-3x-5}+x\sqrt{x+1}+5=4\sqrt{x+1}+2\sqrt{2x-5}+2x
  3. \frac{2+\log_3x}{x-1}<\frac{6}{2x-1}
  4. Найдите все значения параметра a, при которых неравенство \log_{1/a}(\sqrt{x^2+ax+5}+1)\cdot \log_5(x^2+ax+6)+\log_a3\geq 0 имеет ровно одно решение.
  5. \left\{\begin{array}{l l} (\sin x)^{y+\frac{1}{y}}+(\cos x)^{y+\frac{1}{y}}=1,\\0<x<y<\frac{\pi}{2}\end{array}\right.
  6. Найдите все значения параметра a из интервала (2; 5), при которых уравнение \log_2(3-|\sin ax|)=\cos (\pi x-\frac{\pi}{6}) имеет хотя бы одно решение из отрезка [2;3].
  7. Найдите все a, при которых уравнение (x tg x+1)\sqrt{|x|-a}=\frac{ax^2+1}{\cos x} имеет нечетное число корней.
  8. Доказать, что для любых p и t справедливо неравенство 2(2p-1)^4+1+(1-2(2p-1)^4)\sin 2t \geq 0, и найти все пары (p; t), при которых оно обращается в равенство.
  9. Среди всех решений (a,b,c,d)  системы \left\{\begin{array}{l l} a^2+b^2=9,\\c^2+d^2=16,\\ad+bc\geq 12\end{array}\right. найдите такие, при которых величина b+d принимает наименьшее значение.
  10. Найдите все a, при которых функция f(x)=\sin 2x-8(a+1)\sin x+(4a^2+8a-14)x является возрастающей на всей числовой прямой и при этом не имеет критических точек.
  11. Найдите все x \in (-1/2; 3/2), удовлетворяющие уравнению \log_2(\sin 3x-\cos 2x-\frac{3}{10})=\log_2(\sin 7x-\cos 6x-\frac{3}{10}).
  12. Что больше, \log _910 или \log_{10}11?
  13. \frac{3+2\cos (x-y)}{2}=\sqrt{3+2x-x^2}\cos^2 \frac{x-y}{2}+\frac{\sin^2 (x-y)}{2}
  14. \log_{\frac{2}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}}(x^2-4x-2)=\log_{\frac{1}{2-\sqrt{3}}}(x^2-4x-3)
  15. \sqrt{x+\sqrt{3}+1}+\sqrt{4x-5}+\sqrt{\frac{4x}{\sqrt{3}}+11}=6

Ответы к домашнему заданию урока 40 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. (2n\pi, \pi+2n\pi), n\in Z, n\geq 1
  2. 6
  3. (1/2;1)
  4. 2
  5. x = t, y = 1, 0<t<1
  6. 9\pi/13, 15\pi/13
  7. -1
  8. p=1/2, t=-\pi/4+n\pi
  9. a=-12/5, b=-9/5, c=-12/5, d=-16/5
  10. a<-2-\sqrt{5}, a>\sqrt{5}
  11. \pi/6
  12. \log_9{10}>\log_{10}11
  13. x=1, y=1+\pi/2+n\pi, n \in Z
  14. 2\pm\sqrt{14+4\sqrt{3}}
  15. 3-\sqrt{3}