Урок 40. Использование различных свойств функции

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. $(x^x-7x-6)\cdot\sin x>0$
2. $\sqrt{2x^2-3x-5}+x\sqrt{x+1}+5=4\sqrt{x+1}+2\sqrt{2x-5}+2x$
3. $\frac{2+\log_3x}{x-1}<\frac{6}{2x-1}$
4. Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство $\log_{1/a}(\sqrt{x^2+ax+5}+1)\cdot \log_5(x^2+ax+6)+\log_a3\geq 0$ имеет ровно одно решение.
5. $\left\{\begin{array}{l l} (\sin x)^{y+\frac{1}{y}}+(\cos x)^{y+\frac{1}{y}}=1,\\0<x<y<\frac{\pi}{2}\end{array}\right.$
6. Найдите все значения параметра $a$ из интервала (2; 5), при которых уравнение $\log_2(3-|\sin ax|)=\cos (\pi x-\frac{\pi}{6})$ имеет хотя бы одно решение из отрезка [2;3].
7. Найдите все $a$, при которых уравнение $(x tg x+1)\sqrt{|x|-a}=\frac{ax^2+1}{\cos x}$ имеет нечетное число корней.
8. Доказать, что для любых $p$ и $t$ справедливо неравенство $2(2p-1)^4+1+(1-2(2p-1)^4)\sin 2t \geq 0$, и найти все пары $(p; t)$, при которых оно обращается в равенство.
9. Среди всех решений $(a,b,c,d)$  системы $\left\{\begin{array}{l l} a^2+b^2=9,\\c^2+d^2=16,\\ad+bc\geq 12\end{array}\right.$ найдите такие, при которых величина $b+d$ принимает наименьшее значение.
10. Найдите все $a$, при которых функция $f(x)=\sin 2x-8(a+1)\sin x+(4a^2+8a-14)x$ является возрастающей на всей числовой прямой и при этом не имеет критических точек.
11. Найдите все $x \in (-1/2; 3/2)$, удовлетворяющие уравнению $\log_2(\sin 3x-\cos 2x-\frac{3}{10})=\log_2(\sin 7x-\cos 6x-\frac{3}{10})$.
12. Что больше, $\log _910$ или $\log_{10}11$?
13. $\frac{3+2\cos (x-y)}{2}=\sqrt{3+2x-x^2}\cos^2 \frac{x-y}{2}+\frac{\sin^2 (x-y)}{2}$
14. $\log_{\frac{2}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}}(x^2-4x-2)=\log_{\frac{1}{2-\sqrt{3}}}(x^2-4x-3)$
15. $\sqrt{x+\sqrt{3}+1}+\sqrt{4x-5}+\sqrt{\frac{4x}{\sqrt{3}}+11}=6$

Ответы к домашнему заданию урока 40 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. $(2n\pi, \pi+2n\pi), n\in Z, n\geq 1$
2. 6
3. (1/2;1)
4. 2
5. x = t, y = 1, 0<t<1
6. $9\pi/13, 15\pi/13$
7. -1
8. $p=1/2, t=-\pi/4+n\pi$
9. a=-12/5, b=-9/5, c=-12/5, d=-16/5
10. $a<-2-\sqrt{5}, a>\sqrt{5}$
11. $\pi/6$
12. $\log_9{10}>\log_{10}11$
13. $x=1, y=1+\pi/2+n\pi, n \in Z$
14. $2\pm\sqrt{14+4\sqrt{3}}$
15. $3-\sqrt{3}$