Урок 23. Применения производной

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=x^3-9x^2+15x+1$ на отрезке [-2; 6].
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=x^2-5|x+1|-2$ на отрезке [-3; 3].
3. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=-|x^3-6x^2+9x-3|$ на отрезке [-1; 4].
4. Найдите наименьшее значение функции $y=\frac{2x^2+x+1}{3x^2-x+2}$.
5. Найдите токи экстремума и отрезки монотонности функции $f(x)=x^3+6x^2-3x+3$ на интервале (-5; 1/5).
6. Найдите все $x\in (0; \pi/2)$ такие, что $f'(x)=0$, где $f(x)=\sin x\cdot\sin (\frac{\pi}{2}-x)\cdot (\sin (\frac{\pi}{2}-x)-\sin x)$.
7. Найдите наименьшее значение функции $y=2|x-3|+|3x-2|$.
8. Найдите наибольшее значение функции $y=2\sin x+\sin 2x$ на отрезке $[0; 5\pi/4]$.
9. Найдите наименьшее значение функции $y=-\cos^2 x-\frac{\sqrt{3}}{2}x$ на отрезке $[0; \pi]$.
10. Найдите все $x$, при которых функция $y=4\cos^2 x+3\sqrt{3}\sin x+7\sin^2 x$ принимает наименьшее значение.
11. Найдите все $x$, при которых функция $y=6\cos^2 x+6\sin x-2$ принимает наибольшее значение.
12. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=18x-\sin 9x+3\sin 6x$ на отрезке $[-7\pi/18; \pi/18]$.
13. [2] При каких $x$ функция $f(x)=x^2(45\sin 3x-9\cos 3x)+x(30\cos 3x+6\sin 3x)+80\sin 3x-16\cos 3x$ имеет минимумы?
14. [2] При каких $x$ функция $f(x)=x^2(6\sin 2x-8\cos 2x)+x(6\cos 2x+8\sin 2x)+3\sin 2x-4\cos 2x$ имеет максимумы?
15. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=|x^2+x|+|x^2+5x+6|$ на отрезке [-5/2; 1/2].
16. Найдите точки максимума функции $y=-5x^3+x|x-1|$ на отрезке [0;2] и ее наименьшее значение на этом же отрезке.
17. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y=x+\frac{1}{x-1}$.
18. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=|\sin x|+|\cos x|$.
19. Найдите наименьшее значение функции $y=|tg x|+|ctg x|$.
20. [3] Найдите сумму $1+2\cdot 3+3\cdot 3^2+4\cdot 3^3+\ldots+100\cdot 3^{99}$.

Ответы к домашнему заданию урока 23 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. -73; 8
2. -53/4; -1
3. -19
4. 7/23
5. возрастает на $(-5; -2-\sqrt{5}]$; убывает на $(-2-\sqrt{5}; 1/5)$; $-2-\sqrt{5}$
6. $\arcsin (2/3)/2; \pi/2-\arcsin (2/3)/2$
7. 14/3
8. $3\sqrt{3}/2$
9. $-1-\pi\sqrt{3}/2$
10. $(-1)^{n+1}\pi/3+n\pi$
11. $(-1)^n\pi/6+n\pi$
12. $\pi-1+3\sqrt{3}/2; -7\pi-1-3\sqrt{3}/2$
13. $-\arcsin (5/\sqrt{26})/3+2n\pi/3$
14. $-\arccos (4/5)/2+\pi/2+n\pi$
15. 3/2; 6
16. -38; 1/5
17. возрастает на $(-\infty; 0)$ и $(2; +\infty)$; убывает на (0;1) и (1;2)
18. $1; \sqrt{2}$
19. 2
20. $(199\cdot 3^{100}+1)/4$