В.В. Ткачук Математика - абитуриенту. Домашнее задание к уроку 41

Урок 41. Удачная подстановка или группировка 

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. x^4-4x^3+x^2+4x+1=0
  2. x^4+x^3-2x^2-3x-3=0
  3. 5x+13+10\sqrt{x+2}\geq 4\sqrt{x^2+x-2}+5\sqrt{x-1}
  4. Решите в целых числах уравнение 5x^2+y^2+3z^2-2yz=30.
  5. Найдите наименьшее x, для которого существуют y и z такие, что x^2+2y^2+z^2+xy-xz-yz=1.
  6. Пусть m и n - натуральные числа, \frac{m}{n} - правильная несократимая дробь. Известно, что дробь \frac{2n-m}{3n+2m} сократима на натуральное k>1. Найдите все возможные k.
  7. \sqrt{\frac{3x^2}{2}-2y^2+2z^2+10z+6y+\frac{\sqrt{3}x}{2}-17}+ \sqrt{3x^2-2\sqrt{3}(\cos \pi y+\cos \pi z)x+4}=0
  8. \sqrt{(x-5)(-x+7)}+1>-\sqrt{x-5}+\sqrt{-x+7}
  9. \sqrt{9-\frac{9}{x}}<x-\sqrt{x-\frac{9}{x}}
  10. Решите в целых числах уравнение 15x^2y^2-8yx^2+28y^2x+x^2+5y^2-38xy+8x-24y+16=0.
  11. (x^2-3x+1)(x^2+3x+2)(x^2-9x+20)=-30
  12. Для каждого a\ne 0 решите уравнение x^3-3x=a^3+\frac{1}{a^3}.
  13. \log_{x/4}(x^2)-\log_{8x}(x^3)=0
  14. (x+1)(x+2)(x+4)(x+5)=10
  15. (x-1)(x-2)(x-4)(x-8)=7x^2
  16. \frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+4}=0
  17. x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{35}{12}
  18. 3\cos x+\sin x=tg\frac{x}{2}
  19. (x+1)^{\log_3(x^2+x)}=(x^2+x)^{\log_3(2-x)}
  20. (x^2+4x+8)^2+3x^3+14x^2+24x=0

Ответы к домашнему заданию урока 41 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. (3\pm\sqrt{13})/2; (1\pm\sqrt{5})/2
  2. \pm\sqrt{3}
  3. x\geq 1
  4. x=\pm 1, y=\pm 5, z=0
  5. -\sqrt{7/5}
  6. k = 7
  7. x=-2\sqrt{3}/3, y=z=1; x=-2\sqrt{3}/3, y=7, z=-9
  8. 6-\sqrt{4\sqrt{5}-8}<x\leq 7
  9. 3\leq x<(1+\sqrt{37})/2, x>(1+\sqrt{37})/2
  10. (-2; -2), (-4; 0), (0; 4)
  11. (3\pm\sqrt{29})/2; (3\pm\sqrt{25\pm 4\sqrt{30}})/2
  12. если  а = 1, то х = -1 или х = 2; если a = -1, то х = -2 или х = 1; при остальных a значение x = a+1/a.
  13. 1; 4096
  14. -3\pm\sqrt{6}
  15. (15+\sqrt{37})/4\pm\sqrt{(15+\sqrt{37})^2/4-8}
  16. -2\pm\sqrt{(15\pm\sqrt{145})/10}
  17. 5/3; 5/4
  18. -2arctg2+2n\pi, \pi/2+2n\pi, n\in Z
  19. 1/2; (\sqrt{5}-1)/2
  20. -4; -2