Урок 42. Геометрический подход 

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. $x^2+2x+3=\sqrt{4-x^2}$
2. Среди решений $(x;y)$ системы неравенств $\left\{\begin{array}{l l} x+2y\leq 3,\\2x-y\leq 1,\\x\geq 0,\\y\geq 0 \end{array}\right.$ найдите все те, для которых выражение $x^2+y^2$ принимает максимальное значение.
3. Известно, что $x+y+z=1$. Найдите наименьшее значение выражения $x^2+y^2+z^1$.
4. Верно ли, что уравнение $\log_{1/16}x=16^{-x}$ имеет ровно один корень?
5. $\frac{6-3^{x+1}}{x}>\frac{10}{2x-1}$
6. При каких $a$ уравнение $ax-|x|-|x+2|=\frac{a}{2}$ имеет не менее двух решений?
7. При каких $a$ неравенство $x^2+y^2\leq 6x-4y+a^2+a-13$ имеет не менее пяти целочисленных решений?
8. При всех значениях параметра $a$ решите неравенство $\sqrt{|x+1|}\leq a-x$.
9. При каких $a$ уравнение $x|x-2a|-1-a=0$ имеет единственный корень?
10. Найдите наименьшее значение функции $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2+x+y+0,5}+$ $\sqrt{x^2+y^2-2x+4y+5}$
11. Найдите все $a$, для которых неравенство $1+|x-a|>x^2$ имеет хотя бы одно решение, большее единицы.
12. При каких $a$ система неравенств $\left\{\begin{array}{l l} 2x+y\geq 2,\\x+y\leq 3,\\x\geq 0,\\y\geq 0 \end{array}\right.$  имеет единственное решение?
13. При каких $a$ уравнение $\log_2\sqrt{8x}+\frac{1}{2}|\log_2x+x-3|=a+\frac{x}{2}$ имеет единственное решение?
14. Найдите все $a$, при которых функция $f(x)=|x-a+1|+|x+3a|$ является четной.
15. Найдите все $a$, для которых уравнение $ax^2+|x|=|x+1|$ не имеет решений.

Ответы к домашнему заданию урока 42 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. нет решений
2. x = 0, y = 3/2
3. 1/3
4. нет, не верно
5. (0;1/2)
6. (-2; -4/5)
7. $(-\infty;(-1-\sqrt{5})/2)\cup ((\sqrt{5}-1_/2; +\infty)$
8. если  $a<-1$, то $x\leq (2a-1-\sqrt{-4a-3})/2$; если $-1\leq a\leq -3/4$, то $x\leq �(2a-1-\sqrt{-4a-3})/2$ и $(2a-1+\sqrt{-4a-3})/2\leq x\leq (2a+1-\sqrt{4a+5})/2$; если $a>-3/4$, то $x\leq (2a+1-\sqrt{4a+5})/2$
9. $-1<a<(1+\sqrt{5})/2$
10. 9/2
11. $a\ne 1$
12. 2
13. $a=1, a\geq 3$
14. -1/2
15. a < -1