В.В. Ткачук Математика - абитуриенту. Домашнее задание к уроку 43

Урок 43. Тривиальные задачи по стереометрии

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. В конус вписан шар. Площадь поверхности шара равна площади основания конуса. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания.
  2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a, а высота, опущенная из какой-нибудь вершины основания на противоположную ей боковую грань равна b. Найдите объем пирамиды.
  3. Из основания высоты правильной треугольной пирамиды опущен перпендикуляр на боковое ребро, равный p. Найдите объем пирамиды, если двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен \alpha.
  4. Основание пирамиды - равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом 8 см. Каждое из боковых ребер равно 9 см. Найдите объем пирамиды.
  5. В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под углом \alpha. Найдите угол между смежными боковыми гранями.
  6. Определите объем параллелепипеда, у которого все ребра равны 1, а плоские углы при одной из вершин равны \alpha <\pi/2.
  7. Основание пирамиды - правильный треугольник со стороной 6 см. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 4 см. Найдите радиус шара, описанного вокруг пирамиды.
  8. Шар вписан в усеченный конус. Докажите, что площадь поверхности шара меньше площади боковой поверхности конуса.
  9. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13 см, а диагонали его боковой грани равны 4\sqrt{10} и 3\sqrt{17}. Найдите объем параллелепипеда.
  10. Найдите отношение объема куба к объему правильного тетраэдра, ребро которого равно диагонали грани куба.
  11. Центр верхнего основания правильной четырехугольной призмы и середины сторон нижнего основания служат вершинами вписанной в призму пирамиды, объем которой равен V. Найдите объем призмы.
  12. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при основании равен 60о. Найдите полную поверхность пирамиды.
  13. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 1, а ее боковая поверхность равна 3. Найдите объем пирамиды.
  14. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны a и b. Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 60о. Найдите боковую поверхность параллелепипеда.
  15. Высота правильного тетраэдра равна h. Вычислите его полную поверхность.
  16. Найдите объем правильной треугольной призмы, если сторона ее основания равна a, а боковая поверхность равна сумме площадей оснований.
  17. В основании пирамиды лежит квадрат. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к нему пол углом 45о. Среднее по величине боковое ребро равно p. Найдите объем пирамиды.
  18. Боковая поверхность конуса равна S, а расстояние от центра основания до образующей равно r. Найдите объем конуса.
  19. Найдите отношение объема шара к объему вписанного куба.
  20. Металлический шар радиуса R перелит в конус, боковая поверхность которого в три раза больше площади основания. Найдите высоту конуса.
  21. Равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3 и острым углом 60о вращается вокруг меньшего основания. Найдите объем полученной фигуры вращения.
  22. Основания правильной усеченной пирамиды служат квадраты со сторонами a и b, a > b. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45о. Найдите объем усеченной пирамиды.
  23. Вычислите объем правильного тетраэдра, если радиус описанной около него сферы равен r.
  24. В правильной треугольной пирамиде отношение бокового ребра к высоте равно 2. Найдите отношение радиуса вписанного в пирамиду шара к стороне основания пирамиды.
  25. В правильной четырехугольной пирамиде с боковым ребром, равным 20, угол при вершине равен 60о. Через точку, лежащую на одном из боковых ребер, проведена прямая, перпендикулярная этому ребру и пересекающая высоту пирамиды. Найдите длину отрезка этой прямой, лежащего внутри пирамиды, если точка пересечения этой прямой с высотой делит высоту на две части в отношении 3:7, считая от вершины.
  26. В правильную шестиугольную пирамиду вписан прямой конус, и около нее описан прямой конус. Даны высота пирамиды H и радиус основания  описанного конуса R. Найдите разность объемов описанного и вписанного конусов.
  27. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b, а радиус описанного шара равен R. Найдите объем пирамиды.
  28. Отношение объемов двух шаров равно k. Найдите отношение их площадей поверхности.
  29. В шар вписан конус с высотой H. Объем конуса равен 1/4 объема шара. Найдите объем шара.
  30. В сферу вписана правильная четырехугольная пирамида, у которой двугранный угол при основании равен \alpha. Площадь сферы равна S. Найдите площадь основания пирамиды.
  31. В цилиндр вписана правильная треугольная призма объема V. Найдите объем цилиндра.
  32. Все ребра прямой призмы ABCA1B1C1 имеют равные длины. Найдите угол между BC1 и AC.
  33. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, а площади диагональных сечений равны Q1 и Q2. Найдите площадь боковой поверхности.
  34. Основание пирамиды - треугольник со сторонами 5, 5 и 6. Высота пирамиды проходит через центр круга, вписанного в этот треугольник и равна 2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
  35. Боковое ребро правильной треугольной усеченной пирамиды равно b и образует со стороной большего основания угол \beta. Площади основания относятся как 4:1. Найдите объем пирамиды.
  36. Все ребра треугольной пирамиды, кроме АВ, имеют длину а, причем угол АСВ равен \alpha. Найдите объем пирамиды.
  37. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны a и b, где a > b. Угол между плоскостями боковой грани и основания равен \alpha. Найдите площадь полной поверхности усеченной пирамиды.
  38. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD высота SO равна диагонали основания. Пусть M и N есть соответственно середины ребер BC и SA. Найдите угол между прямыми SM и BN.
  39. Диагонали осевого сечения цилиндра пересекаются под углом \alpha, обращенного к основанию. Объем цилиндра равен V. Найдите его высоту.
  40. Через две образующие конуса, угол между которыми равен \alpha, проведена плоскость, составляющая с основанием угол \beta. Найдите объем конуса, если высота его равна h.

Ответы к домашнему заданию урока 43 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. 2arctg(1/2)
  2. ab\sqrt{a^2/12+h^2}/6
  3. p^3\sqrt{3}ctg^2\alpha\cdot (4+tg^2\alpha)^{3/2}/8
  4. 224/3
  5. \pi-\arccos (\cos^2\alpha)
  6. V=\sin\alpha\sqrt{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha tg(\alpha/2)}
  7. 4
  8. 144
  9. 3
  10. 6V
  11. 3h^2\sqrt{3}/2
  12. \sqrt{47}/24
  13. 2(a+b)\sqrt{3(a^2+b^2)}
  14. 3h^2\sqrt{3}/2
  15. a^3/8
  16. p^3\sqrt{2}/12
  17. Sr/3
  18. \pi\sqrt{3}/2
  19. 2R\sqrt[3]{4}
  20. 2\pi
  21. (a^3-b^3)\sqrt{2}/6
  22. 8r^3/(9\sqrt{3})
  23. 2
  24. 17
  25. \pi R^2H/12
  26. (b^4(4R^2-b^2)\sqrt{3})/(32R^3)
  27. k^{2/3}
  28. 4\pi H^3/3 или 4(\sqrt{5}-2)\pi H^3/3
  29. S\sin^2 2\alpha/\pi
  30. 4\pi V/(3\sqrt{3})
  31. \arccos(1/(2\sqrt{2}))
  32. 2\sqrt{Q_1^2+Q_2^2}
  33. 20
  34. 7b^3\cos^2\beta\sqrt{3-4\cos^2\beta}/3
  35. a^3\sin (\alpha/2)\sqrt{\cos (\alpha/2+\pi/6)\cos (\alpha/2-\pi/6)}/3
  36. \sqrt{3}(a^2\cos^2 (\alpha/2)-b^2\sin^2 (\alpha/2))/(2\cos \alpha)
  37. \arccos (11/(9\sqrt{2}))
  38. \sqrt[3]{\frac{4Vctg^2(\alpha/2)}{\pi}}
  39. \pi h^3(\cos^2\beta+tg^2(\alpha/2))/(3\sin^2\beta)