Урок 43. Тривиальные задачи по стереометрии

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. В конус вписан шар. Площадь поверхности шара равна площади основания конуса. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания.
2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а высота, опущенная из какой-нибудь вершины основания на противоположную ей боковую грань равна $b$. Найдите объем пирамиды.
3. Из основания высоты правильной треугольной пирамиды опущен перпендикуляр на боковое ребро, равный $p$. Найдите объем пирамиды, если двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен $\alpha$.
4. Основание пирамиды - равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом 8 см. Каждое из боковых ребер равно 9 см. Найдите объем пирамиды.
5. В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите угол между смежными боковыми гранями.
6. Определите объем параллелепипеда, у которого все ребра равны 1, а плоские углы при одной из вершин равны $\alpha <\pi/2$.
7. Основание пирамиды - правильный треугольник со стороной 6 см. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 4 см. Найдите радиус шара, описанного вокруг пирамиды.
8. Шар вписан в усеченный конус. Докажите, что площадь поверхности шара меньше площади боковой поверхности конуса.
9. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13 см, а диагонали его боковой грани равны $4\sqrt{10}$ и $3\sqrt{17}$. Найдите объем параллелепипеда.
10. Найдите отношение объема куба к объему правильного тетраэдра, ребро которого равно диагонали грани куба.
11. Центр верхнего основания правильной четырехугольной призмы и середины сторон нижнего основания служат вершинами вписанной в призму пирамиды, объем которой равен V. Найдите объем призмы.
12. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна $h$, а двугранный угол при основании равен 60^о. Найдите полную поверхность пирамиды.
13. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 1, а ее боковая поверхность равна 3. Найдите объем пирамиды.
14. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны a и b. Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 60^о. Найдите боковую поверхность параллелепипеда.
15. Высота правильного тетраэдра равна h. Вычислите его полную поверхность.
16. Найдите объем правильной треугольной призмы, если сторона ее основания равна a, а боковая поверхность равна сумме площадей оснований.
17. В основании пирамиды лежит квадрат. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к нему пол углом 45^о. Среднее по величине боковое ребро равно p. Найдите объем пирамиды.
18. Боковая поверхность конуса равна S, а расстояние от центра основания до образующей равно r. Найдите объем конуса.
19. Найдите отношение объема шара к объему вписанного куба.
20. Металлический шар радиуса R перелит в конус, боковая поверхность которого в три раза больше площади основания. Найдите высоту конуса.
21. Равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3 и острым углом 60^о вращается вокруг меньшего основания. Найдите объем полученной фигуры вращения.
22. Основания правильной усеченной пирамиды служат квадраты со сторонами a и b, a > b. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45^о. Найдите объем усеченной пирамиды.
23. Вычислите объем правильного тетраэдра, если радиус описанной около него сферы равен r.
24. В правильной треугольной пирамиде отношение бокового ребра к высоте равно 2. Найдите отношение радиуса вписанного в пирамиду шара к стороне основания пирамиды.
25. В правильной четырехугольной пирамиде с боковым ребром, равным 20, угол при вершине равен 60^о. Через точку, лежащую на одном из боковых ребер, проведена прямая, перпендикулярная этому ребру и пересекающая высоту пирамиды. Найдите длину отрезка этой прямой, лежащего внутри пирамиды, если точка пересечения этой прямой с высотой делит высоту на две части в отношении 3:7, считая от вершины.
26. В правильную шестиугольную пирамиду вписан прямой конус, и около нее описан прямой конус. Даны высота пирамиды H и радиус основания  описанного конуса R. Найдите разность объемов описанного и вписанного конусов.
27. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b, а радиус описанного шара равен R. Найдите объем пирамиды.
28. Отношение объемов двух шаров равно k. Найдите отношение их площадей поверхности.
29. В шар вписан конус с высотой H. Объем конуса равен 1/4 объема шара. Найдите объем шара.
30. В сферу вписана правильная четырехугольная пирамида, у которой двугранный угол при основании равен $\alpha$. Площадь сферы равна S. Найдите площадь основания пирамиды.
31. В цилиндр вписана правильная треугольная призма объема V. Найдите объем цилиндра.
32. Все ребра прямой призмы ABCA₁B₁C₁ имеют равные длины. Найдите угол между BC₁ и AC.
33. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, а площади диагональных сечений равны Q₁ и Q₂. Найдите площадь боковой поверхности.
34. Основание пирамиды - треугольник со сторонами 5, 5 и 6. Высота пирамиды проходит через центр круга, вписанного в этот треугольник и равна 2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
35. Боковое ребро правильной треугольной усеченной пирамиды равно b и образует со стороной большего основания угол $\beta$. Площади основания относятся как 4:1. Найдите объем пирамиды.
36. Все ребра треугольной пирамиды, кроме АВ, имеют длину а, причем угол АСВ равен $\alpha$. Найдите объем пирамиды.
37. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны a и b, где a > b. Угол между плоскостями боковой грани и основания равен $\alpha$. Найдите площадь полной поверхности усеченной пирамиды.
38. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD высота SO равна диагонали основания. Пусть M и N есть соответственно середины ребер BC и SA. Найдите угол между прямыми SM и BN.
39. Диагонали осевого сечения цилиндра пересекаются под углом $\alpha$, обращенного к основанию. Объем цилиндра равен V. Найдите его высоту.
40. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $\alpha$, проведена плоскость, составляющая с основанием угол $\beta$. Найдите объем конуса, если высота его равна h.

Ответы к домашнему заданию урока 43 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. 2arctg(1/2)
2. $ab\sqrt{a^2/12+h^2}/6$
3. $p^3\sqrt{3}ctg^2\alpha\cdot (4+tg^2\alpha)^{3/2}/8$
4. 224/3
5. $\pi-\arccos (\cos^2\alpha)$
6. $V=\sin\alpha\sqrt{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha tg(\alpha/2)}$
7. 4
9. 144
10. 3
11. 6V
12. $3h^2\sqrt{3}/2$
13. $\sqrt{47}/24$
14. $2(a+b)\sqrt{3(a^2+b^2)}$
15. $3h^2\sqrt{3}/2$
16. $a^3/8$
17. $p^3\sqrt{2}/12$
18. Sr/3
19. $\pi\sqrt{3}/2$
20. $2R\sqrt[3]{4}$
21. $2\pi$
22. $(a^3-b^3)\sqrt{2}/6$
23. $8r^3/(9\sqrt{3})$
24. 2
25. 17
26. $\pi R^2H/12$
27. $(b^4(4R^2-b^2)\sqrt{3})/(32R^3)$
28. $k^{2/3}$
29. $4\pi H^3/3$ или $4(\sqrt{5}-2)\pi H^3/3$
30. $S\sin^2 2\alpha/\pi$
31. $4\pi V/(3\sqrt{3})$
32. $\arccos(1/(2\sqrt{2}))$
33. $2\sqrt{Q_1^2+Q_2^2}$
34. 20
35. $7b^3\cos^2\beta\sqrt{3-4\cos^2\beta}/3$
36. $a^3\sin (\alpha/2)\sqrt{\cos (\alpha/2+\pi/6)\cos (\alpha/2-\pi/6)}/3$
37. $\sqrt{3}(a^2\cos^2 (\alpha/2)-b^2\sin^2 (\alpha/2))/(2\cos \alpha)$
38. $\arccos (11/(9\sqrt{2}))$
39. $\sqrt[3]{\frac{4Vctg^2(\alpha/2)}{\pi}}$
40. $\pi h^3(\cos^2\beta+tg^2(\alpha/2))/(3\sin^2\beta)$