В.В. Ткачук Математика - абитуриенту. Домашнее задание к уроку 35

Урок 35. Уравнения и неравенства с параметрами

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. При каких a сумма квадратов корней уравнения x^2-ax+a+1=0 больше 1?
  2. При каких a сумма кубов уравнения x^2-x+a=0 меньше или равна 1?
  3. При каких a сумма четвертых степеней корней уравнения x^2-x+a=0 больше или равна 1?
  4. Дано уравнение x^2+7x+3=0. Пусть x_1, x_2 - его корни. Составьте квадратное уравнение с корнями y_1, y_2, где y_1=x_1^2+x_2^2, y_2=x_1^3+x_2^3.
  5. Дано уравнение ax^2+bx+c=0, a\ne 0 с корнями x_1, x_2. Составьте квадратное уравнение с корнями y_1=\frac{1}{x_1}, y_2=\frac{1}{x_2}.
  6. При каких a сумма квадратов корней уравнения x^2-4ax+5a=0 равна 6?
  7. Для всех a решите неравенство ax^2+x+1>0.
  8. Для всех a решите неравенство x^2+ax+1>0.
  9. Для всех a решите неравенство x^2+x+a\geq 0.
  10. Для всех a решите неравенство ax^2+(a+1)x+1>0.
  11. При каких m уравнение (m-3)x^2-6x+m+5=0 имеет корни? Исследовать их знаки при различных m.
  12. При каких m уравнение 3mx^2-(7m+1)x+2m+1=0 имеет корни? Исследовать их знаки при различных m.
  13. При каких a сумма квадратов корней уравнения x^2+ax+a^2-3=0 минимальна? Максимальна?
  14. Найдите все a, при которых уравнения x^2+ax+1=0 и x^2+x+a=0 имеют хотя бы один общий корень.
  15. Дано неравенство ax+k^2>0. При каких значениях a оно выполнено при всех x и k?
  16. Дано неравенство ax+k^2>0. При каких значениях a найдутся такие x и k, что оно выполняется?
  17. Дано неравенство ax+k^2>0. При каких значениях a найдется такое x, что оно выполняется при всех k?
  18. Дано неравенство ax+k^2>0. При каких значениях a найдется такое k, что оно выполняется при всех x?
  19. Дано неравенство ax+k^2>0. При каких значениях k оно выполнено при всех x и a?
  20. Дано неравенство ax+k^2>0. При каких значениях k найдется такое a, что оно выполнено при всех x?

Ответы к домашнему заданию урока 35 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. (-\infty; -1)\cup [2+2\sqrt{2};+\infty)
  2. [0; 1/4]
  3. a\leq 0
  4. y^2+237y-12040=0
  5. cy^2+by+a=0
  6. -3/8
  7. если а < 0, то x \in ((-1+\sqrt{1-4a})/(2a); (-1-\sqrt{1-4a})/(2a)); если а = 0, то x > -1; если a\in (0; 1/4], то x<(-1-\sqrt{1-4a})/(2a), x>(-1+\sqrt{1-4a})/(2a); если a>1/4, то x любое.
  8. если |a|<2, то х любое; если |a|\geq 2, то x<(-a-\sqrt{a^2-4})/2, x>(-a+\sqrt{a^2-4})/2
  9. если а > 1/4, то х любое; если a\leq 1/4, то x\leq (-1-\sqrt{1-4a})/2, x\geq (-1+\sqrt{1-4a})/2
  10. если а < 0, то -1<x<-1/a; если а  = 0, то x > - 1; если 0<a\leq 1, то x<-1/a, x>-1; если а>1, то x <-1, x>-1/a.
  11. при m\in [-6; -5) оба корня отрицательны; при m = -5 один из корней равен 0, а второй отрицателен; при -5<m<3 корни имеют различные знаки; при m=3 есть один положительный корень; при 3<m\leq 4 оба корня положительны. При остальных m решений нет.
  12. при m<-1/2, m>0 оба корня положительны; при m = -1/2 один из корней равен нулю, а другой отрицателен; при m = 0 уравнение имеет один положительный корень; при -1/2<m<0 корни имеют разные знаки
  13. максимальна при a = 0; минимальна при a=\pm 2
  14. -2
  15. ни при каких
  16. при любых а
  17. при a\ne 0
  18. а = 0
  19. ни при каких
  20. при k \ne 0
 

Комментариев 2 к “В.В. Ткачук Математика - абитуриенту. Домашнее задание к уроку 35

  1. Добрый день!
    Подскажите, пожалуйста, способ решения задания номер 3. Откуда выразить сумма четвёртых степеней?

Комментарии закрыты