Урок 35. Уравнения и неравенства с параметрами

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. При каких $a$ сумма квадратов корней уравнения $x^2-ax+a+1=0$ больше 1?
2. При каких $a$ сумма кубов уравнения $x^2-x+a=0$ меньше или равна 1?
3. При каких $a$ сумма четвертых степеней корней уравнения $x^2-x+a=0$ больше или равна 1?
4. Дано уравнение $x^2+7x+3=0$. Пусть $x_1, x_2$ - его корни. Составьте квадратное уравнение с корнями $y_1, y_2$, где $y_1=x_1^2+x_2^2, y_2=x_1^3+x_2^3$.
5. Дано уравнение $ax^2+bx+c=0, a\ne 0$ с корнями $x_1, x_2$. Составьте квадратное уравнение с корнями $y_1=\frac{1}{x_1}, y_2=\frac{1}{x_2}$.
6. При каких $a$ сумма квадратов корней уравнения $x^2-4ax+5a=0$ равна 6?
7. Для всех $a$ решите неравенство $ax^2+x+1>0$.
8. Для всех $a$ решите неравенство $x^2+ax+1>0$.
9. Для всех $a$ решите неравенство $x^2+x+a\geq 0$.
10. Для всех $a$ решите неравенство $ax^2+(a+1)x+1>0$.
11. При каких $m$ уравнение $(m-3)x^2-6x+m+5=0$ имеет корни? Исследовать их знаки при различных $m$.
12. При каких $m$ уравнение $3mx^2-(7m+1)x+2m+1=0$ имеет корни? Исследовать их знаки при различных m.
13. При каких $a$ сумма квадратов корней уравнения $x^2+ax+a^2-3=0$ минимальна? Максимальна?
14. Найдите все $a$, при которых уравнения $x^2+ax+1=0$ и $x^2+x+a=0$ имеют хотя бы один общий корень.
15. Дано неравенство $ax+k^2>0$. При каких значениях $a$ оно выполнено при всех $x$ и $k$?
16. Дано неравенство $ax+k^2>0$. При каких значениях $a$ найдутся такие $x$ и $k$, что оно выполняется?
17. Дано неравенство $ax+k^2>0$. При каких значениях $a$ найдется такое $x$, что оно выполняется при всех $k$?
18. Дано неравенство $ax+k^2>0$. При каких значениях $a$ найдется такое $k$, что оно выполняется при всех $x$?
19. Дано неравенство $ax+k^2>0$. При каких значениях $k$ оно выполнено при всех $x$ и $a$?
20. Дано неравенство $ax+k^2>0$. При каких значениях $k$ найдется такое $a$, что оно выполнено при всех $x$?

Ответы к домашнему заданию урока 35 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. $(-\infty; -1)\cup [2+2\sqrt{2};+\infty)$
2. [0; 1/4]
3. $a\leq 0$
4. $y^2+237y-12040=0$
5. $cy^2+by+a=0$
6. -3/8
7. если а < 0, то $x \in ((-1+\sqrt{1-4a})/(2a); (-1-\sqrt{1-4a})/(2a))$; если а = 0, то x > -1; если $a\in (0; 1/4]$, то $x<(-1-\sqrt{1-4a})/(2a), x>(-1+\sqrt{1-4a})/(2a)$; если a>1/4, то x любое.
8. если |a|<2, то х любое; если $|a|\geq 2$, то $x<(-a-\sqrt{a^2-4})/2, x>(-a+\sqrt{a^2-4})/2$
9. если а > 1/4, то х любое; если $a\leq 1/4$, то $x\leq (-1-\sqrt{1-4a})/2, x\geq (-1+\sqrt{1-4a})/2$
10. если а < 0, то -1<x<-1/a; если а  = 0, то x > - 1; если $0<a\leq 1$, то x<-1/a, x>-1; если а>1, то x <-1, x>-1/a.
11. при $m\in [-6; -5)$ оба корня отрицательны; при m = -5 один из корней равен 0, а второй отрицателен; при -5<m<3 корни имеют различные знаки; при m=3 есть один положительный корень; при $3<m\leq 4$ оба корня положительны. При остальных m решений нет.
12. при m<-1/2, m>0 оба корня положительны; при m = -1/2 один из корней равен нулю, а другой отрицателен; при m = 0 уравнение имеет один положительный корень; при -1/2<m<0 корни имеют разные знаки
13. максимальна при a = 0; минимальна при $a=\pm 2$
14. -2
15. ни при каких
16. при любых а
17. при $a\ne 0$
18. а = 0
19. ни при каких
20. при $k \ne 0$