В.В. Ткачук Математика - абитуриенту. Домашнее задание к уроку 36

Урок 36. Расположение корней квадратного трехчлена

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. Найдите все значения a, при которых квадратный трехчлен p(x)=(a^2-1)x^2+2(a-1)x+1 положителен при всех x.
  2. При каких a оба корня уравнения (2-a)x^2-3ax+2a=0 больше 1/2?
  3. При каких a оба корня уравнения (2+a)x^2-2ax+3a=0 положительны?
  4. При каких a оба корня уравнения x^2+4ax+1-2a+4a^2=0 меньше -1?
  5. При каких a один из корней уравнения (a^2+a+1)x^2+(2a-3)x+a-5=0 больше 1, а другой меньше 1?
  6. Существуют ли такие a, что корни уравнения x^2+2x+a=0 различны и лежат между -1 и 1?
  7. При каких a оба корня уравнения ax^2-(a+1)x+2=0 по модулю меньше 1?
  8. При каких a оба корня уравнения x^2-ax+2=0 лежат на интервале (0; 3)?
  9. При каких m неравенство x^2+mx+m^2+6m<0 выполняется при всех x\in (1;2)?
  10. При каких m неравенство mx^2-4x+3m+1>0 выполнено при всех x>0?
  11. При каких a неравенство (a-1)x^2+(2a-3)x+a-3>0 выполнено хотя бы при одном x<1?
  12. Найти все a, при которых оба корня уравнения x^2+x+a=0 больше a.
  13. При каких m из неравенства x^2-(3m+1)x+m>0 следует, что x>1?
  14. При каких p уравнение \sin^2 x+p\sin x=p^2-1 имеет решения?
  15. При каких m\in (-1;1) уравнение 4^{\sin x}+m\cdot 2^{\sin x}+m^2-1=0 имеет решения?
  16. Существуют ли a такие, что неравенство 4^{|\cos x|}+2(2a+1)\cdot 2^{|\cos x|}+4a^2-3<0 выполнено при всех x?
  17. При каких a из неравенства ax^2-x+1-a<0 следует неравенство 0<x<1?
  18. Найти все a такие, что если x удовлетворяет неравенству ax^2+(1-a^2)x-a>0, то |x|\leq 2.
  19. Найти все a, при которых из неравенства x^2-a(1+a^2)+a^4<0 следует неравенство x^2+4x+3>0.
  20. При каких a неравенство \sin^6 x+\cos^6 x+a\sin x\cos x\geq 0 выполнено для всех x?
  21. При каких a уравнение (1+a)(\frac{x^2}{1+x^2})^2-3a\cdot\frac{x^2}{x^2+1}+4a=0 имеет корни?
  22. Для каждого a решите уравнение x+\sqrt{x}=a.
  23. Для каждого a решите уравнение (\frac{1+x}{\sqrt{x}})^2+2a\cdot\frac{1+x}{\sqrt{x}}+1=0.
  24. При каких y неравенство 2\log_{1/2}y^2-3+2x\log_{1/2}y^2-x^2>0 имеет решения?
  25. Для каждого a решите уравнение \sqrt{a(2^x-2)+1}=1-2^x.

Ответы к домашнему заданию урока 36 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. a\geq 1
  2. 16/17\leq a<2
  3. -3\leq a<-2
  4. a>1
  5. -2-\sqrt{11}<a<-2+\sqrt{11}
  6. таких а не существует
  7. a\geq 3+2\sqrt{2}
  8. 2\sqrt{2}\leq a<11/3
  9. (-7-\sqrt{45})/2\leq m\leq -4+2\sqrt{3}
  10. m>1
  11. a>3/4
  12. a<-2
  13. ни при каких
  14. p\in [-2;-2/\sqrt{5}]\cup [2/\sqrt{5}; 2]
  15. m\in [-2/\sqrt{3}; (\sqrt{13}-1)/4]
  16. не существуют
  17. (1/2; 1]
  18. [-2; -1/2]
  19. a>-1 или a<-3
  20. [-1/2; 1/2]
  21. (-1/2; 0]
  22. при а<0 нет решений; при a\geq 0 имеем x=a+1/2-\sqrt{a+1/4}
  23. при a\leq -5/4 имеем x=((\sqrt{a^2-1}-a\pm\sqrt{(\sqrt{a^2-1}-a)^2-4})/2)^2; при а>-5/4 решений нет
  24. при |y|>2\sqrt{2} и 0<|y|<1/\sqrt{2}
  25. при 0<a\leq 1 имеем x=\log_2a; при остальных a решений нет.