Урок 30. Параллелограммы и трапеции

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. В параллелограмме ABCD угол C острый, АВ = 3, ВС = 6. Точка  F  лежит на середине стороны AD. Прямая, перпендикулярная к АВ и проходящая через точку С, пересекает продолжение отрезка АВ за точку В в точку Е. Известно, что угол AEF равен $\alpha$. Найдите площадь четырехугольника AECD.
2. Площадь трапеции ABCD равна 6, Е - точка пересечения продолжений боковых сторон. Через точку Е и точку пересечения диагоналей проведена прямая, пересекающая меньшее основание ВС в точке Р, а большее основание AD в точке Q. Точка F лежит на отрезке EC, причем EF:FC=EP:EQ=1:3. Найдите площадь треугольника EPF.
3. В трапеции ABCD диагонали пересекаются под прямым углом, и одно основание ее в два раза больше другого. Отношение длин боковых стороны равно $m$. Найдите боковые стороны, если сумма квадратов длин диагоналей равна $d^2$.
4. В трапеции ABCD основание AD больше основания BC. Известно, что AD = CD = 14/3, угол BAD равен $\pi/2$, угол BCD равен $5\pi/6$. На основании AD построен треугольник AED. Точки B и E лежат по одну сторону от AD и AE = ED. Длина высоты, опущенной из точки Е на прямую AD, равна 7/5. Найдите площадь общей части трапеции ABCD и треугольника AED.
5. В трапеции ABCE основание AE равно 16. Боковая сторона CE равна $8\sqrt{3}$. Известно, что окружность, проходящая через точки A, B, C, пересекает сторону AE в точке H, причем угол AHB равен 60^о. Найдите BH.
6. Сторона ромба ABCD равна 6, а угол BAD равен 60^о. Точка Е лежит на стороне BC, причем CE = 2. Найдите длину отрезка ОЕ, где О - центр ромба.
7. В трапеции PQRS основание QR равно 10. Известно также, что QS = 19 и угол QSP равен 30^о. Что больше, QR или RS?
8. Около трапеции KLMN описана окружность. Основание KN трапеции является ее диаметром, причем KN = 4, LM = 2. Хорда MT пересекает KN в точке S такой, что KS:SN=1:3. Найдите площадь треугольника STN.
9. Дан прямоугольник ABCD, в котором AB = 6, AD = $3(1+\sqrt{2}/2)$. В нем лежат две окружности. Окружность радиуса 2 с центром в точке К касается сторон AB и AD. Окружность радиуса 1 с центром в точке L касается стороны CD и первой окружности. Пусть M - основание перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую KL. Найдите площадь треугольника CML.
10. В трапеции ABCD с основаниями AB и CD диагонали AC и BD пересекаются в точке О, причем треугольник BOC равносторонний. Известно, что АВ = 5, CD = 3. Найдите длину стороны BC.
11. В трапецию ABCD вписана окружность. Продолжения боковых сторон AD и BC за точки D и C пересекаются в точке Е. Периметр треугольника DCE равен 60, сторона АВ равна 20 и угол ADC равен $\beta$. Найдите радиус окружности.
12. Площадь трапеции ABCD равна 30. Ее основание AD в два раза больше основания BC. Точка P лежит на середине боковой стороны AB, а точка R - на стороне CD, деля ее в отношении DR:RC =2:1. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника APQ.
13. В параллелограмма PQRS биссектриса угла RPQ, равного 80^о, пересекает сторону RS в точке L. Найдите радиус окружности, касающийся отрезка PQ и лучей QR и PL, если PQ = 7.
14. В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону CD в точке М, причем DM:MC=2:1. Известно, что угол CAM равен $\alpha$. Найдите угол BAD.
15. Окружность, проходящая через точку D и касающаяся сторон AB и BC равнобедренной трапеции ABCD, пересекает стороны AD и CD соответственно в точках M и N. Известно, что AD параллельно BC и AB = 7, AD = 6, AM:MD=1:3, CN:ND=4:3. Найдите длину основания BC.
16. Известно, что ABCD - параллелограмм, BD = 2, угол ACB равен 45^о. Прямая CD касается окружности, описанной около треугольника ABD. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
17. Параллелограммы ABCD и A₁BCD₁ имеют общую сторону BC, причем точка A симметрична A₁, а точка D симметрична D₁ относительно прямой BC. Отрезки BD и BA₁ лежат на одной прямой. Угол между AC и A₁C равен 45^о. Площадь пятиугольника ADCD₁A₁ равна $15\sqrt{2}$. Найдите AB и AD.
18. Около квадрата BEFC описана окружность радиуса $2\sqrt{2}$. Точка Р лежит на продолжении отрезка DC за точку С, причем PC = $\sqrt{28}-2$. Через точку Р проведена секущая РА, пересекающая окружность в точках D и A. Известно, что PD = 4 и угол BAC тупой. Найдите угол BPA.
19. В прямоугольнике ABCD известны длины сторон АВ = 12 и AD = 5. Точка пересечения диагоналей обозначена через Е. Пусть О₁ - центр окружности, вписанной в треугольник AED, и О₂ - центр окружности, вписанной в треугольник DEC. Найдите EO₁:EO₂.
20. [2] В параллелограмме лежат две окружности радиуса 1, касающиеся друг друга и трех сторон параллелограмма каждая. Один из отрезков стороны параллелограмма от вершины до точки касания равен $\sqrt{3}$. Найдите площадь параллелограмма.

Ответы к домашнему заданию урока 30 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. $18(1+\cos 2\alpha)\sin 2\alpha$
2. 3/32
3. $\frac{md}{3}\sqrt{\frac{5}{m^2+1}}; \frac{d}{3}\sqrt{\frac{5}{m^2+1}}$
4. $49\sqrt{3}-245/3$
5. 8
6. $\sqrt{13}$
7. RS > QR
8. $9\sqrt{3}/14$
9. $3(4\sqrt{2}-5)/4$
10. 15/7
11. $\frac{30\sin \beta}{4+\cos \beta}$
12. 10/3
13. $7ctg 70^{o}\sin 50^{o}$
14. 2arctg(5tg$\alpha$)
15. $4+2\sqrt{7}$
16. 4
17. AB = $2\sqrt{5-2\sqrt{2}}$; AD = $2(1+\sqrt{2})\sqrt{2-\sqrt{2}}$
18. $\arcsin(1/8)$
19. 10/3
20. $4+8/\sqrt{3}$